Номер 258, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

258. a) Луч $AL$, проведенный из вершины острого угла ромба $ABCD$, делит этот угол в отношении 1 : 3, а сторону $BC$ в отношении 3 : 5. Найдите косинус тупого угла ромба.

б) В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ вдвое больше ее меньшего основания $BC$, $\angle BAD = \alpha$. Найдите косинус угла $BAC$.

a)

Дано:

Ромб $ABCD$, луч $AL$ из вершины $A$ (острый угол).

$L \in BC$.

$\angle BAL : \angle LAD = 1 : 3$.

$BL : LC = 3 : 5$.

Найти:

$\cos(\angle ABC)$ (косинус тупого угла ромба).

Решение:

Пусть $\angle BAL = k$. Тогда, согласно условию, $\angle LAD = 3k$.

Острый угол ромба $\angle BAD = \angle BAL + \angle LAD = k + 3k = 4k$.

Так как $AD \parallel BC$ (противоположные стороны ромба параллельны), то $\angle ALB = \angle LAD = 3k$ как накрест лежащие углы при секущей $AL$.

Пусть сторона ромба $AB = a$. Тогда все стороны ромба равны $a$, в том числе $BC = a$.

Точка $L$ делит сторону $BC$ в отношении $3:5$, то есть $BL:LC = 3:5$.

Следовательно, $BL = \frac{3}{3+5}BC = \frac{3}{8}a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABL$. В нем известны: $AB = a$, $BL = \frac{3}{8}a$, $\angle BAL = k$, $\angle ALB = 3k$.

Применим теорему синусов для $\triangle ABL$:

$\frac{AB}{\sin(\angle ALB)} = \frac{BL}{\sin(\angle BAL)}$

$\frac{a}{\sin(3k)} = \frac{\frac{3}{8}a}{\sin(k)}$

Сократим $a$ (так как $a \ne 0$):

$\frac{1}{\sin(3k)} = \frac{3}{8\sin(k)}$

$8\sin(k) = 3\sin(3k)$

Используем формулу синуса тройного угла: $\sin(3k) = 3\sin(k) - 4\sin^3(k)$.

$8\sin(k) = 3(3\sin(k) - 4\sin^3(k))$

$8\sin(k) = 9\sin(k) - 12\sin^3(k)$

Так как $k$ является частью острого угла ромба, $k \ne 0$, и $\sin(k) \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $\sin(k)$:

$8 = 9 - 12\sin^2(k)$

$12\sin^2(k) = 9 - 8$

$12\sin^2(k) = 1$

$\sin^2(k) = \frac{1}{12}$

Найдем $\cos^2(k)$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos^2(k) = 1 - \sin^2(k) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$

Тупой угол ромба, например, $\angle ABC$, и острый угол $\angle BAD$ являются соседними углами при одной стороне и в сумме дают $180^\circ$. Таким образом, тупой угол ромба равен $180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 4k$.

Нам нужно найти косинус тупого угла: $\cos(180^\circ - 4k) = -\cos(4k)$.

Для вычисления $\cos(4k)$ используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$.

Сначала найдем $\cos(2k)$:

$\cos(2k) = 1 - 2\sin^2(k) = 1 - 2\left(\frac{1}{12}\right) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Теперь найдем $\cos(4k)$ как $\cos(2 \cdot 2k)$, используя формулу $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$:

$\cos(4k) = 2\cos^2(2k) - 1 = 2\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{25}{36}\right) - 1 = \frac{25}{18} - 1 = \frac{25 - 18}{18} = \frac{7}{18}$

Косинус тупого угла ромба равен $-\cos(4k) = -\frac{7}{18}$.

Ответ: $-\frac{7}{18}$

б)

Дано:

Трапеция $ABCD$, $BC \parallel AD$ ($BC$ - меньшее основание).

Боковая сторона $AB = 2BC$.

$\angle BAD = \alpha$.

Найти:

$\cos(\angle BAC)$.

Решение:

Пусть меньшее основание $BC = x$. Тогда боковая сторона $AB = 2x$.

Обозначим искомый угол $\angle BAC = \phi$.

Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, поэтому $\angle BCA = \angle CAD$.

Угол $\angle BAD$ равен $\alpha$. Мы можем записать $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$.

Следовательно, $\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = \alpha - \phi$.

Отсюда получаем $\angle BCA = \alpha - \phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем известны стороны $BC = x$, $AB = 2x$, и углы $\angle BAC = \phi$, $\angle BCA = \alpha - \phi$.

Применим теорему синусов для $\triangle ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle BCA)}$

Подставим известные значения:

$\frac{x}{\sin(\phi)} = \frac{2x}{\sin(\alpha - \phi)}$

Сократим $x$ (так как $x \ne 0$):

$\frac{1}{\sin(\phi)} = \frac{2}{\sin(\alpha - \phi)}$

Отсюда следует: $\sin(\alpha - \phi) = 2\sin(\phi)$.

Используем формулу синуса разности углов: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.

$\sin(\alpha)\cos(\phi) - \cos(\alpha)\sin(\phi) = 2\sin(\phi)$

Перенесем все члены, содержащие $\sin(\phi)$, в правую часть:

$\sin(\alpha)\cos(\phi) = 2\sin(\phi) + \cos(\alpha)\sin(\phi)$

Вынесем $\sin(\phi)$ за скобки в правой части:

$\sin(\alpha)\cos(\phi) = (2 + \cos(\alpha))\sin(\phi)$

Разделим обе части на $\cos(\phi)$ (так как $\phi$ - угол в треугольнике, $\cos(\phi)$ может быть равен нулю, но только если $\phi = 90^\circ$. Однако, если $\phi = 90^\circ$, то $\tan(\phi)$ не определен, что бы привело к противоречию, если бы правая часть была конечна. Поскольку $\sin(\alpha)$ и $2+\cos(\alpha)$ конечны, $\cos(\phi)$ не может быть равен нулю. Делим на $\cos(\phi)$ и на $(2+\cos(\alpha))$:

$\tan(\phi) = \frac{\sin(\alpha)}{2 + \cos(\alpha)}$

Нам нужно найти $\cos(\phi)$. Используем тригонометрическое тождество $\cos^2(\phi) = \frac{1}{1 + \tan^2(\phi)}$.

$\cos^2(\phi) = \frac{1}{1 + \left(\frac{\sin(\alpha)}{2 + \cos(\alpha)}\right)^2}$

$\cos^2(\phi) = \frac{1}{1 + \frac{\sin^2(\alpha)}{(2 + \cos(\alpha))^2}}$

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$\cos^2(\phi) = \frac{1}{\frac{(2 + \cos(\alpha))^2 + \sin^2(\alpha)}{(2 + \cos(\alpha))^2}}$

Перевернем дробь:

$\cos^2(\phi) = \frac{(2 + \cos(\alpha))^2}{(2 + \cos(\alpha))^2 + \sin^2(\alpha)}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(2 + \cos(\alpha))^2 + \sin^2(\alpha) = (4 + 4\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)) + \sin^2(\alpha)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

Знаменатель $= 4 + 4\cos(\alpha) + 1 = 5 + 4\cos(\alpha)$.

Таким образом:

$\cos^2(\phi) = \frac{(2 + \cos(\alpha))^2}{5 + 4\cos(\alpha)}$

Извлечем квадратный корень. Поскольку $\phi = \angle BAC$ - угол в треугольнике, он всегда острый или тупой ($0 < \phi < 180^\circ$). $\alpha$ - угол трапеции, поэтому $0 < \alpha < 180^\circ$, и $\cos(\alpha)$ лежит в диапазоне $[-1, 1]$.

Выражение $2 + \cos(\alpha)$ всегда положительно, так как $2 + \cos(\alpha) \ge 2 - 1 = 1$.

Выражение $5 + 4\cos(\alpha)$ также всегда положительно, так как $5 + 4\cos(\alpha) \ge 5 - 4 = 1$.

Следовательно, $\cos(\phi) = \frac{\sqrt{(2 + \cos(\alpha))^2}}{\sqrt{5 + 4\cos(\alpha)}} = \frac{|2 + \cos(\alpha)|}{\sqrt{5 + 4\cos(\alpha)}}$.

Так как $2 + \cos(\alpha) > 0$, то $|2 + \cos(\alpha)| = 2 + \cos(\alpha)$.

Таким образом, $\cos(\angle BAC) = \frac{2 + \cos(\alpha)}{\sqrt{5 + 4\cos(\alpha)}}$.

Ответ: $\frac{2 + \cos(\alpha)}{\sqrt{5 + 4\cos(\alpha)}}$