Номер 251, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

251. Острый угол ромба равен $80^\circ$, а его большая диагональ равна 12 см. Найдите площадь ромба с точностью до $0,1 \text{ см}^2$.

Дано:

Острый угол ромба $\alpha = 80^\circ$

Большая диагональ $D = 12$ см

Перевод в СИ:

Острый угол ромба $\alpha = 80^\circ = \frac{80 \cdot \pi}{180}$ рад $= \frac{4\pi}{9}$ рад

Большая диагональ $D = 12$ см $= 0.12$ м

Найти:

Площадь ромба $S$

Решение:

Пусть ромб обозначается $ABCD$, а его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию, острый угол ромба $\alpha = \angle A = 80^\circ$. Большая диагональ $AC = D = 12$ см. Поскольку большая диагональ ромба соединяет вершины острых углов, $AC$ является этой диагональю.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Точка $O$ является серединой каждой диагонали.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. Угол $\angle AOB = 90^\circ$.

Длина отрезка $AO$ равна половине длины большой диагонали $AC$: $AO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Угол $\angle OAB$ равен половине острого угла ромба: $\angle OAB = \frac{\alpha}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$.

Пусть $BD$ — короткая диагональ ромба. Длина отрезка $BO$ является половиной длины короткой диагонали: $BO = \frac{BD}{2}$.

Для нахождения длины отрезка $BO$ используем тригонометрическое соотношение тангенса в прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$:

$\tan(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BO}{AO}$

Подставляем известные значения:

$\tan(40^\circ) = \frac{BO}{6}$

Отсюда выразим $BO$:

$BO = 6 \cdot \tan(40^\circ)$ см.

Длина короткой диагонали $BD$ равна $2 \cdot BO$:

$BD = 2 \cdot (6 \cdot \tan(40^\circ)) = 12 \cdot \tan(40^\circ)$ см.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей.

В нашем случае $d_1 = AC = 12$ см и $d_2 = BD = 12 \cdot \tan(40^\circ)$ см.

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot (12 \cdot \tan(40^\circ))$

$S = 6 \cdot 12 \cdot \tan(40^\circ)$

$S = 72 \cdot \tan(40^\circ)$

Используя значение $\tan(40^\circ) \approx 0.8390996$, рассчитаем площадь:

$S \approx 72 \cdot 0.8390996 \approx 60.4151712$ см$^2$.

Округляем результат до 0,1 см$^2$, как того требует условие задачи:

$S \approx 60.4$ см$^2$.

Ответ:

$60.4$ см$^2$.