Номер 250, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень В

250. Найдите площадь параллелограмма, одна сторона которого равна 51 см, а диагонали – 40 см и 74 см. (Ответ округлите до десятков квадратных сантиметров.)

Дано:

Одна сторона параллелограмма: $a = 51$ см.
Диагонали параллелограмма: $d_1 = 40$ см, $d_2 = 74$ см.

Перевод в СИ:

$a = 51 \cdot 10^{-2}$ м.
$d_1 = 40 \cdot 10^{-2}$ м.
$d_2 = 74 \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

Площадь параллелограмма $S$.

Решение:

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, а диагонали как $d_1$ и $d_2$.Используем свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон.Это выражается формулой: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.Подставим известные значения:$(40)^2 + (74)^2 = 2((51)^2 + b^2)$
$1600 + 5476 = 2(2601 + b^2)$
$7076 = 5202 + 2b^2$
$2b^2 = 7076 - 5202$
$2b^2 = 1874$
$b^2 = \frac{1874}{2}$
$b^2 = 937$
$b = \sqrt{937}$ см.

Теперь у нас есть обе стороны параллелограмма: $a = 51$ см и $b = \sqrt{937}$ см.Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = ab \sin \gamma$, где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.Рассмотрим треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_1$. По теореме косинусов для этого треугольника:$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$40^2 = 51^2 + (\sqrt{937})^2 - 2 \cdot 51 \cdot \sqrt{937} \cos \gamma$
$1600 = 2601 + 937 - 102\sqrt{937} \cos \gamma$
$1600 = 3538 - 102\sqrt{937} \cos \gamma$
$102\sqrt{937} \cos \gamma = 3538 - 1600$
$102\sqrt{937} \cos \gamma = 1938$
$\cos \gamma = \frac{1938}{102\sqrt{937}}$
$\cos \gamma = \frac{19}{\sqrt{937}}$

Теперь найдем $\sin \gamma$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$:$\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma$
$\sin^2 \gamma = 1 - \left(\frac{19}{\sqrt{937}}\right)^2$
$\sin^2 \gamma = 1 - \frac{19^2}{937}$
$\sin^2 \gamma = 1 - \frac{361}{937}$
$\sin^2 \gamma = \frac{937 - 361}{937}$
$\sin^2 \gamma = \frac{576}{937}$
$\sin \gamma = \sqrt{\frac{576}{937}}$ (поскольку угол параллелограмма $\gamma \in (0, \pi)$, $\sin \gamma > 0$)
$\sin \gamma = \frac{24}{\sqrt{937}}$

Теперь вычислим площадь параллелограмма:$S = ab \sin \gamma$
$S = 51 \cdot \sqrt{937} \cdot \frac{24}{\sqrt{937}}$
$S = 51 \cdot 24$
$S = 1224$ см$^2$.

Согласно условию, ответ необходимо округлить до десятков квадратных сантиметров.1224 округляется до 1220.

Ответ:

Площадь параллелограмма $S = 1220$ см$^2$.