Номер 249, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

249. а) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно $(\sqrt{5} - 1)$ см, а угол при вершине равен $36^\circ$.

б) Найдите стороны параллелограмма ABCD, если его диагональ BD, равная $10$ см, делит угол B на части в $48^\circ$ и $72^\circ$.

а) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно $(\sqrt{5} - 1)$ см, а угол при вершине равен $36^\circ$.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.
Основание $AC = a = (\sqrt{5} - 1)$ см.
Угол при вершине $\angle B = 36^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = (\sqrt{5} - 1) \text{ см} = (\sqrt{5} - 1) \cdot 10^{-2} \text{ м}$.
$\angle B = 36^\circ = \frac{\pi}{5} \text{ рад}$.

Найти:

Боковую сторону $b = AB = BC$.

Решение:

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника $ABC$ равна $b$. Угол при вершине $\angle B = 36^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$.
Применим теорему синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$.
Подставим известные значения: $\frac{(\sqrt{5} - 1)}{\sin(36^\circ)} = \frac{b}{\sin(72^\circ)}$.
Выразим боковую сторону $b$: $b = (\sqrt{5} - 1) \frac{\sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}$.
Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.
Тогда $\sin(72^\circ) = \sin(2 \cdot 36^\circ) = 2 \sin(36^\circ) \cos(36^\circ)$.
Подставим это в выражение для $b$: $b = (\sqrt{5} - 1) \frac{2 \sin(36^\circ) \cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ)} = (\sqrt{5} - 1) \cdot 2 \cos(36^\circ)$.
Известно, что $\cos(36^\circ) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
Подставим это значение: $b = (\sqrt{5} - 1) \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{4} = (\sqrt{5} - 1) \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$: $b = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $2$ см.

б) Найдите стороны параллелограмма $ABCD$, если его диагональ $BD$, равная 10 см, делит угол $B$ на части в $48^\circ$ и $72^\circ$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.
Диагональ $BD = 10$ см.
$\angle ABD = 48^\circ$.
$\angle DBC = 72^\circ$.

Перевод в СИ:

$BD = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.
$\angle ABD = 48^\circ = \frac{48\pi}{180} \text{ рад} = \frac{4\pi}{15} \text{ рад}$.
$\angle DBC = 72^\circ = \frac{72\pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{5} \text{ рад}$.

Найти:

Стороны $AB$ и $BC$ (или $CD$ и $AD$).

Решение:

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $BD$ является секущей. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle ADB = \angle DBC = 72^\circ$.
В треугольнике $ABD$ известны два угла и одна сторона: $\angle ABD = 48^\circ$.
$\angle ADB = 72^\circ$.
$BD = 10$ см.
Найдем третий угол треугольника $ABD$: $\angle BAD = 180^\circ - \angle ABD - \angle ADB = 180^\circ - 48^\circ - 72^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Применим теорему синусов для треугольника $ABD$: $\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}$.
Подставим известные значения: $\frac{AB}{\sin(72^\circ)} = \frac{AD}{\sin(48^\circ)} = \frac{10}{\sin(60^\circ)}$.
Найдем сторону $AB$: $AB = \frac{10 \cdot \sin(72^\circ)}{\sin(60^\circ)}$.
Известно, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$AB = \frac{10 \cdot \sin(72^\circ)}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20 \cdot \sin(72^\circ)}{\sqrt{3}}$.
Используя приближенное значение $\sin(72^\circ) \approx 0.9510565$:
$AB \approx \frac{20 \cdot 0.9510565}{1.7320508} \approx \frac{19.02113}{1.7320508} \approx 10.98188 \text{ см}$.
Найдем сторону $AD$: $AD = \frac{10 \cdot \sin(48^\circ)}{\sin(60^\circ)}$.
$AD = \frac{10 \cdot \sin(48^\circ)}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20 \cdot \sin(48^\circ)}{\sqrt{3}}$.
Используя приближенное значение $\sin(48^\circ) \approx 0.7431448$:
$AD \approx \frac{20 \cdot 0.7431448}{1.7320508} \approx \frac{14.862896}{1.7320508} \approx 8.58005 \text{ см}$.
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB$ и $BC = AD$. Таким образом, стороны параллелограмма $AB \approx 10.98$ см и $BC \approx 8.58$ см.

Ответ: Стороны параллелограмма примерно равны $10.98$ см и $8.58$ см.