Номер 247, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

247. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

а) $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$, $\angle B = 110^\circ$;

б) $AB = 2 \text{ дм}$, $BC = 5 \text{ дм}$, $\angle A = 40^\circ$;

в) $BC = 4 \text{ см}$, $AB = 3 \text{ см}$, $\angle A = 120^\circ$;

г) $BC = 3 \text{ см}$, $AB = 4 \text{ см}$, $\angle A = 60^\circ$.

а) AB = 4 см, BC = 5 см, ∠B = 110°

Дано:

$AB = c = 4 \text{ см}$

$BC = a = 5 \text{ см}$

$\angle B = 110^\circ$

Перевод в СИ:

$c = 0.04 \text{ м}$

$a = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$AC = b$, $\angle A$, $\angle C$

Решение:

1. Найдем сторону $AC$ (обозначим ее как $b$) по теореме косинусов:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$b^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 110^\circ$

$b^2 = 25 + 16 - 40 \cdot (-0.34202)$

$b^2 = 41 + 13.6808$

$b^2 = 54.6808$

$b = \sqrt{54.6808} \approx 7.39 \text{ см}$

2. Найдем угол $A$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\sin A = \frac{a \sin B}{b}$

$\sin A = \frac{5 \cdot \sin 110^\circ}{7.3946}$

$\sin A = \frac{5 \cdot 0.93969}{7.3946}$

$\sin A = \frac{4.69845}{7.3946} \approx 0.63539$

$\angle A = \arcsin(0.63539) \approx 39.44^\circ$

3. Найдем угол $C$ по сумме углов треугольника:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

$\angle C = 180^\circ - 39.44^\circ - 110^\circ$

$\angle C = 180^\circ - 149.44^\circ$

$\angle C \approx 30.56^\circ$

Ответ: $AC \approx 7.39 \text{ см}$, $\angle A \approx 39.44^\circ$, $\angle C \approx 30.56^\circ$.

б) AB = 2 дм, BC = 5 дм, ∠A = 40°

Дано:

$AB = c = 2 \text{ дм}$

$BC = a = 5 \text{ дм}$

$\angle A = 40^\circ$

Перевод в СИ:

$c = 0.2 \text{ м}$

$a = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$AC = b$, $\angle B$, $\angle C$

Решение:

Проверим количество решений для SSA случая. Дан угол $A = 40^\circ$ (острый), сторона $a=5 \text{ дм}$ и сторона $c=2 \text{ дм}$. Так как $a > c$ ($5 > 2$), существует только одно решение.

1. Найдем угол $C$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\sin C = \frac{c \sin A}{a}$

$\sin C = \frac{2 \cdot \sin 40^\circ}{5}$

$\sin C = \frac{2 \cdot 0.64279}{5}$

$\sin C = \frac{1.28558}{5} = 0.257116$

$\angle C = \arcsin(0.257116) \approx 14.90^\circ$

2. Найдем угол $B$ по сумме углов треугольника:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$

$\angle B = 180^\circ - 40^\circ - 14.90^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 54.90^\circ$

$\angle B \approx 125.10^\circ$

3. Найдем сторону $AC$ (обозначим ее как $b$) по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}$

$b = \frac{5 \cdot \sin 125.10^\circ}{\sin 40^\circ}$

$b = \frac{5 \cdot 0.81813}{0.64279}$

$b = \frac{4.09065}{0.64279} \approx 6.36 \text{ дм}$

Ответ: $AC \approx 6.36 \text{ дм}$, $\angle B \approx 125.10^\circ$, $\angle C \approx 14.90^\circ$.

в) BC = 4 см, AB = 3 см, ∠A = 120°

Дано:

$BC = a = 4 \text{ см}$

$AB = c = 3 \text{ см}$

$\angle A = 120^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 0.04 \text{ м}$

$c = 0.03 \text{ м}$

Найти:

$AC = b$, $\angle B$, $\angle C$

Решение:

Для SSA случая, когда заданный угол $\angle A = 120^\circ$ является тупым, существует одно решение, если сторона, лежащая напротив этого угла ($a=4 \text{ см}$), больше прилежащей стороны ($c=3 \text{ см}$). В нашем случае $a > c$ ($4 \text{ см} > 3 \text{ см}$), значит, решение существует и оно единственное.

1. Найдем угол $C$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\sin C = \frac{c \sin A}{a}$

$\sin C = \frac{3 \cdot \sin 120^\circ}{4}$

$\sin C = \frac{3 \cdot 0.86603}{4}$

$\sin C = \frac{2.59809}{4} = 0.6495225$

$\angle C = \arcsin(0.6495225) \approx 40.50^\circ$

2. Найдем угол $B$ по сумме углов треугольника:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$

$\angle B = 180^\circ - 120^\circ - 40.50^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 160.50^\circ$

$\angle B \approx 19.50^\circ$

3. Найдем сторону $AC$ (обозначим ее как $b$) по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}$

$b = \frac{4 \cdot \sin 19.50^\circ}{\sin 120^\circ}$

$b = \frac{4 \cdot 0.33381}{0.86603}$

$b = \frac{1.33524}{0.86603} \approx 1.54 \text{ см}$

Ответ: $AC \approx 1.54 \text{ см}$, $\angle B \approx 19.50^\circ$, $\angle C \approx 40.50^\circ$.

г) BC = 3 см, AB = 4 см, ∠A = 60°

Дано:

$BC = a = 3 \text{ см}$

$AB = c = 4 \text{ см}$

$\angle A = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 0.03 \text{ м}$

$c = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$AC = b$, $\angle B$, $\angle C$

Решение:

Для случая SSA (сторона-сторона-угол) с острым углом $A$ ($60^\circ$), количество решений зависит от соотношения между стороной $a$, стороной $c$ и высотой $h = c \sin A$, проведенной из вершины $B$ на сторону $AC$.

Вычислим высоту $h$:

$h = c \sin A = 4 \cdot \sin 60^\circ$

$h = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$h \approx 2 \cdot 1.73205 = 3.4641 \text{ см}$

Сравним заданную сторону $a$ с высотой $h$:

$a = 3 \text{ см}$

$h \approx 3.4641 \text{ см}$

Так как $a < h$ ($3 \text{ см} < 3.4641 \text{ см}$), сторона $BC$ ($a$) короче высоты, которая может быть опущена из вершины $B$ на прямую $AC$. Это означает, что сторона $BC$ не достает до прямой $AC$, и треугольник с заданными параметрами не может быть построен.

Ответ: Треугольник с такими параметрами не существует.