Номер 244, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

244. Найдите величины углов треугольника, стороны которого равны:

a) 5 см, 12 см и 13 см;

б) 7 см, 8 см и 9 см;

в) 6 см, 8 см и 12 см;

г) $ \sqrt{8} $ см, $ \sqrt{12} $ см, $ \sqrt{20} $ см.

а)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 5$ см, $b = 12$ см, $c = 13$ см.

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$c = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

Найти:

Величины углов треугольника ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$).

Решение:

Для нахождения углов треугольника используем теорему косинусов. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий стороне $a$, $\beta$ - угол, противолежащий стороне $b$, $\gamma$ - угол, противолежащий стороне $c$.

Проверим соотношение сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. И $c^2 = 13^2 = 169$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным, и угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$, равен $90^\circ$.

Теперь найдем остальные углы с помощью теоремы косинусов:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{12^2 + 13^2 - 5^2}{2 \cdot 12 \cdot 13} = \frac{144 + 169 - 25}{312} = \frac{288}{312} = \frac{12}{13}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{12}{13}\right) \approx 22.62^\circ$

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 13^2 - 12^2}{2 \cdot 5 \cdot 13} = \frac{25 + 169 - 144}{130} = \frac{50}{130} = \frac{5}{13}$

$\beta = \arccos\left(\frac{5}{13}\right) \approx 67.38^\circ$

Проверка суммы углов: $22.62^\circ + 67.38^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника приблизительно равны $22.62^\circ$, $67.38^\circ$ и $90^\circ$.

б)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 7$ см, $b = 8$ см, $c = 9$ см.

Перевод в СИ:

$a = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$c = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Величины углов треугольника ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$).

Решение:

Используем теорему косинусов:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64 + 81 - 49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \approx 48.19^\circ$

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 9^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}$

$\beta = \arccos\left(\frac{11}{21}\right) \approx 58.74^\circ$

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 - 9^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$

$\gamma = \arccos\left(\frac{2}{7}\right) \approx 73.40^\circ$

Проверка суммы углов: $48.19^\circ + 58.74^\circ + 73.40^\circ = 180.33^\circ$ (разница обусловлена округлением).

Ответ: Углы треугольника приблизительно равны $48.19^\circ$, $58.74^\circ$ и $73.40^\circ$.

в)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 12$ см.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$c = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Величины углов треугольника ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$).

Решение:

Используем теорему косинусов:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 12^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 12} = \frac{64 + 144 - 36}{192} = \frac{172}{192} = \frac{43}{48}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{43}{48}\right) \approx 26.38^\circ$

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + 12^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 12} = \frac{36 + 144 - 64}{144} = \frac{116}{144} = \frac{29}{36}$

$\beta = \arccos\left(\frac{29}{36}\right) \approx 36.34^\circ$

$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{6^2 + 8^2 - 12^2}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{36 + 64 - 144}{96} = \frac{100 - 144}{96} = \frac{-44}{96} = -\frac{11}{24}$

$\gamma = \arccos\left(-\frac{11}{24}\right) \approx 117.28^\circ$

Проверка суммы углов: $26.38^\circ + 36.34^\circ + 117.28^\circ = 180.00^\circ$.

Ответ: Углы треугольника приблизительно равны $26.38^\circ$, $36.34^\circ$ и $117.28^\circ$.

г)

Дано:

Стороны треугольника: $a = \sqrt{8}$ см, $b = \sqrt{12}$ см, $c = \sqrt{20}$ см.

Упростим значения сторон:

$a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см

$b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см

$c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см

Перевод в СИ:

$a = 2\sqrt{2} \text{ см} \approx 2.828 \text{ см} = 0.02828 \text{ м}$

$b = 2\sqrt{3} \text{ см} \approx 3.464 \text{ см} = 0.03464 \text{ м}$

$c = 2\sqrt{5} \text{ см} \approx 4.472 \text{ см} = 0.04472 \text{ м}$

Найти:

Величины углов треугольника ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$).

Решение:

Используем теорему косинусов. Сначала вычислим квадраты сторон:

$a^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$

$b^2 = (\sqrt{12})^2 = 12$

$c^2 = (\sqrt{20})^2 = 20$

Проверим соотношение сторон: $a^2 + b^2 = 8 + 12 = 20$. И $c^2 = 20$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным, и угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$, равен $90^\circ$.

Теперь найдем остальные углы с помощью теоремы косинусов:

$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{12 + 20 - 8}{2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{5})} = \frac{24}{8\sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) \approx 39.23^\circ$

$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8 + 20 - 12}{2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{5})} = \frac{16}{8\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right) \approx 50.77^\circ$

Проверка суммы углов: $39.23^\circ + 50.77^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника приблизительно равны $39.23^\circ$, $50.77^\circ$ и $90^\circ$.