Номер 238, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

238.

a) Найдите с точностью до 0,1 см сторону $BC$ треугольника $ABC$, если $AB = 6$ см, $AC = 19$ см, $\sin A = 0,6$.

б) Расстояние между городами Алматы и Шу 260 км, а между Шу и Таразом – 208 км. Установите, на какой угол поворачивает железнодорожная ветка, соединяющая города Алматы и Тараз (рисунок 145), если расстояние между ними по прямой 453 км.

Рисунок 145

а) Найдите с точностью до 0,1 см сторону BC треугольника ABC, если AB = 6 см, AC = 19 см, sin A = 0,6.

Дано:

Треугольник $ABC$.

$AB = 6$ см

$AC = 19$ см

$\sin A = 0.6$

Найти:

$BC$ с точностью до 0.1 см.

Решение:

Для нахождения стороны $BC$ воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$.

Прежде всего, нам необходимо найти значение $\cos A$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$\cos^2 A = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$

Из этого следует, что $\cos A = \pm \sqrt{0.64} = \pm 0.8$.

Поскольку угол $A$ является углом треугольника, он может быть как острым (в этом случае $\cos A > 0$), так и тупым (в этом случае $\cos A < 0$). Рассмотрим оба возможных случая:

Случай 1: Угол $A$ острый. В этом случае $\cos A = 0.8$.

Применим теорему косинусов:

$BC^2 = 6^2 + 19^2 - 2 \cdot 6 \cdot 19 \cdot 0.8$

$BC^2 = 36 + 361 - 228 \cdot 0.8$

$BC^2 = 397 - 182.4$

$BC^2 = 214.6$

Для нахождения $BC$ извлечем квадратный корень:

$BC = \sqrt{214.6} \approx 14.64924$ см.

Округляя результат до 0.1 см, получаем $BC \approx 14.6$ см.

Случай 2: Угол $A$ тупой. В этом случае $\cos A = -0.8$.

Применим теорему косинусов:

$BC^2 = 6^2 + 19^2 - 2 \cdot 6 \cdot 19 \cdot (-0.8)$

$BC^2 = 36 + 361 + 228 \cdot 0.8$

$BC^2 = 397 + 182.4$

$BC^2 = 579.4$

Для нахождения $BC$ извлечем квадратный корень:

$BC = \sqrt{579.4} \approx 24.07073$ см.

Округляя результат до 0.1 см, получаем $BC \approx 24.1$ см.

Так как в условии задачи не уточняется, является ли угол $A$ острым или тупым, возможны два решения. В стандартных школьных задачах, если не указано иное, часто подразумевается острый угол.

Ответ: 14.6 см

б) Расстояние между городами Алматы и Шу 260 км, а между Шу и Таразом - 208 км. Установите, на какой угол поворачивает железнодорожная ветка, соединяющая города Алматы и Тараз (рисунок 145), если расстояние между ними по прямой 453 км.

Дано:

Расстояние между Алматы и Шу ($AS$) = 260 км

Расстояние между Шу и Таразом ($ST$) = 208 км

Прямое расстояние между Алматы и Таразом ($AT$) = 453 км

Перевод в СИ:

Единицы измерения (километры) являются стандартными для расстояний в данной задаче. Для вычисления угла перевод в систему СИ (метры) не требуется, так как единицы измерения длин сократятся.

Найти:

Угол поворота железнодорожной ветки в точке Шу.

Решение:

Представим города Алматы, Шу и Тараз как вершины треугольника $AST$. Нам известны длины всех трех сторон этого треугольника:

$c = AS = 260$ км (сторона, противоположная углу $T$)

$a = ST = 208$ км (сторона, противоположная углу $A$)

$b = AT = 453$ км (сторона, противоположная углу $S$)

Угол поворота железнодорожной ветки в Шу соответствует внутреннему углу $\angle AST$ (обозначим его как $S$) треугольника $AST$. Для нахождения этого угла воспользуемся теоремой косинусов:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos S$

Выразим $\cos S$ из этой формулы:

$\cos S = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставим числовые значения сторон:

$a^2 = (208)^2 = 43264$

$c^2 = (260)^2 = 67600$

$b^2 = (453)^2 = 205209$

$2ac = 2 \cdot 208 \cdot 260 = 108160$

Теперь подставим эти значения в формулу для $\cos S$:

$\cos S = \frac{43264 + 67600 - 205209}{108160}$

$\cos S = \frac{110864 - 205209}{108160}$

$\cos S = \frac{-94345}{108160}$

$\cos S \approx -0.87229937$

Чтобы найти угол $S$, применим функцию арккосинуса:

$S = \arccos(-0.87229937) \approx 150.93^\circ$

Угол $S$ - это внутренний угол треугольника в точке Шу. Однако, "угол поворота" железнодорожной ветки обычно означает угол, на который отклоняется направление движения от первоначального прямолинейного пути. Если поезд прибывает в Шу из Алматы (по направлению $AS$) и затем меняет направление на $ST$, то угол поворота измеряется относительно продолжения линии $AS$ за точку $S$. Этот угол является смежным с углом $S$ внутри треугольника $AST$.

Угол поворота = $180^\circ - S$

Угол поворота $\approx 180^\circ - 150.93^\circ \approx 29.07^\circ$

Округлим результат до десятых долей градуса:

Угол поворота $\approx 29.1^\circ$

Ответ: 29.1°