Практическое задание, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте треугольник со сторонами 5 см, 8 см и углом между ними в 60°. Найдите третью сторону треугольника, используя векторы.

Дано:

Две стороны треугольника: $a = 5 \, \text{см}$, $b = 8 \, \text{см}$

Угол между этими сторонами: $\gamma = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м}$

$b = 8 \, \text{см} = 0.08 \, \text{м}$

$\gamma = 60^\circ$

Найти:

Третью сторону треугольника ($c$).

Решение:

Постройте треугольник со сторонами 5 см, 8 см и углом между ними в 60°.

Для построения треугольника с заданными двумя сторонами и углом между ними (по двум сторонам и углу между ними) выполним следующие шаги:

1. Проведите отрезок длиной 8 см. Обозначьте его концы как точки A и B.

2. В точке A постройте угол, равный $60^\circ$, используя транспортир или циркуль и линейку (например, построив равносторонний треугольник, одна из сторон которого лежит на AB).

3. На луче, исходящем из точки A под углом $60^\circ$ к отрезку AB, отложите отрезок длиной 5 см. Обозначьте конец этого отрезка как точку C.

4. Соедините точки B и C отрезком. Треугольник ABC является искомым, где AB = 8 см, AC = 5 см и угол между ними $ \angle BAC = 60^\circ $. Длина отрезка BC будет третьей стороной треугольника.

Ответ: Описана процедура построения треугольника.

Найдите третью сторону треугольника, используя векторы.

Пусть две данные стороны треугольника представлены векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, исходящими из одной вершины. Модули этих векторов равны их длинам: $|\vec{a}| = 5 \, \text{см}$ и $|\vec{b}| = 8 \, \text{см}$. Угол между этими векторами равен $\gamma = 60^\circ$.

Третья сторона треугольника может быть представлена как вектор $\vec{c}$, который является разностью векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$, то есть $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$.

Для нахождения длины третьей стороны (модуля вектора $\vec{c}$) воспользуемся свойством скалярного произведения вектора на себя:

$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$

Подставим выражение для $\vec{c}$:

$|\vec{c}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})$

Раскроем скалярное произведение (аналогично квадрату разности в алгебре, но с учетом, что это векторы):

$|\vec{c}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{a} \cdot \vec{a}$

Используя определения модуля вектора ($|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$) и скалярного произведения двух векторов ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\gamma$), подставим их в уравнение:

$|\vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\gamma + |\vec{a}|^2$

Перегруппируем члены для удобства и подставим известные числовые значения:

$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\gamma$

$|\vec{c}|^2 = (5 \, \text{см})^2 + (8 \, \text{см})^2 - 2 \cdot (5 \, \text{см}) \cdot (8 \, \text{см}) \cdot \cos(60^\circ)$

Вычислим значения:

$|\vec{c}|^2 = 25 \, \text{см}^2 + 64 \, \text{см}^2 - 2 \cdot 40 \, \text{см}^2 \cdot 0.5$

$|\vec{c}|^2 = 89 \, \text{см}^2 - 40 \, \text{см}^2$

$|\vec{c}|^2 = 49 \, \text{см}^2$

Для нахождения длины третьей стороны извлечем квадратный корень:

$|\vec{c}| = \sqrt{49 \, \text{см}^2}$

$|\vec{c}| = 7 \, \text{см}$

Ответ: Третья сторона треугольника равна $7 \, \text{см}$.