Номер 230, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

230. В параллелограмме $ABCD$ $\angle C = 60^\circ$, $BC = 8$ см, $BD = 10$ см.

Найдите с точностью до $1^\circ$ $\angle ABD$ и $\angle ADB$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

$\angle C = 60^\circ$

$BC = 8$ см

$BD = 10$ см

Перевод данных в СИ:

Для геометрических задач, где используются длины в сантиметрах и углы в градусах, перевод в систему СИ (метры, радианы) не является обязательным, так как все вычисления выполняются в относительных единицах, а углы выражаются в градусах по условию. Если бы требовалось вычисление площади или объема, потребовались бы согласованные единицы.

Найти:

$\angle ABD$ и $\angle ADB$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные углы равны, следовательно, $\angle A = \angle C = 60^\circ$.

2. Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, $AD = BC = 8$ см.

3. Рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны две стороны $AD = 8$ см, $BD = 10$ см и угол $\angle A = 60^\circ$, лежащий напротив стороны $BD$.

4. Для нахождения угла $\angle ABD$ применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}$

5. Подставим известные значения:

$\frac{8}{\sin(\angle ABD)} = \frac{10}{\sin(60^\circ)}$

6. Выразим $\sin(\angle ABD)$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{8 \cdot \sin(60^\circ)}{10}$

7. Значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{8 \cdot 0.8660}{10} = \frac{6.928}{10} = 0.6928$

8. Найдем угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = \arcsin(0.6928) \approx 43.84^\circ$

9. Округлим $\angle ABD$ до $1^\circ$:

$\angle ABD \approx 44^\circ$

10. Теперь найдем угол $\angle ADB$. Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$:

$\angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD$

11. Подставим значения:

$\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ - 43.84^\circ = 120^\circ - 43.84^\circ = 76.16^\circ$

12. Округлим $\angle ADB$ до $1^\circ$:

$\angle ADB \approx 76^\circ$

Ответ:

$\angle ABD \approx 44^\circ$, $\angle ADB \approx 76^\circ$