Номер 226, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

226. a) В $\triangle ABC$ $AB=5\sqrt{6}$ см, $\angle A=75^{\circ}$, $\angle B=60^{\circ}$. Найдите $AC$.

б) В треугольнике с углами $105^{\circ}$ и $45^{\circ}$ наименьшая сторона равна $4\sqrt{2}$ см. Найдите среднюю по длине сторону этого треугольника.

a) В ΔABC $AB = 5\sqrt{6}$ см, $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Найдите $AC$.

Дано:

треугольник ΔABC

$AB = 5\sqrt{6}$ см

$\angle A = 75^\circ$

$\angle B = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$AB = 5\sqrt{6} \cdot 10^{-2}$ м

$\angle A = 75^\circ = \frac{75\pi}{180}$ рад $= \frac{5\pi}{12}$ рад

$\angle B = 60^\circ = \frac{60\pi}{180}$ рад $= \frac{\pi}{3}$ рад

Найти:

$AC$

Решение:

1. Найдем угол $\angle C$ в треугольнике ΔABC. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

$\angle C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ$

$\angle C = 180^\circ - 135^\circ$

$\angle C = 45^\circ$

В радианах: $\angle C = \frac{\pi}{4}$ рад.

2. Применим теорему синусов, которая гласит: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Для сторон $AC$ и $AB$ и соответствующих углов: $\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

3. Подставим известные значения:

$\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 45^\circ}$

4. Выразим $AC$:

$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$

5. Известные значения синусов:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

6. Подставим значения и произведем вычисления:

$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$AC = 5\sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}}$

$AC = 5\sqrt{\frac{18}{2}}$

$AC = 5\sqrt{9}$

$AC = 5 \cdot 3$

$AC = 15$ см

Ответ: $AC = 15$ см.

б) В треугольнике с углами $105^\circ$ и $45^\circ$ наименьшая сторона равна $4\sqrt{2}$ см. Найдите среднюю по длине сторону этого треугольника.

Дано:

треугольник с углами:

$\alpha = 105^\circ$

$\beta = 45^\circ$

наименьшая сторона $a_{min} = 4\sqrt{2}$ см

Перевод в СИ:

$a_{min} = 4\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 105^\circ = \frac{105\pi}{180}$ рад $= \frac{7\pi}{12}$ рад

$\beta = 45^\circ = \frac{45\pi}{180}$ рад $= \frac{\pi}{4}$ рад

Найти:

среднюю по длине сторону.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\gamma = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ$

$\gamma = 180^\circ - 150^\circ$

$\gamma = 30^\circ$

В радианах: $\gamma = \frac{\pi}{6}$ рад.

2. Углы треугольника: $30^\circ$, $45^\circ$, $105^\circ$. Наименьшей стороне противолежит наименьший угол, а средней стороне противолежит средний угол.

Наименьший угол - $30^\circ$. Следовательно, наименьшая сторона $4\sqrt{2}$ см лежит напротив угла $30^\circ$. Пусть эта сторона будет $a_{30}$.

Средний угол - $45^\circ$. Сторона, противолежащая углу $45^\circ$, будет средней по длине. Пусть это будет $a_{45}$.

3. Применим теорему синусов:

$\frac{a_{30}}{\sin 30^\circ} = \frac{a_{45}}{\sin 45^\circ}$

4. Подставим известные значения:

$\frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{a_{45}}{\sin 45^\circ}$

5. Известные значения синусов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

6. Выразим $a_{45}$:

$a_{45} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

$a_{45} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$

$a_{45} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{1}$

$a_{45} = 4 \cdot 2$

$a_{45} = 8$ см

Ответ: средняя по длине сторона равна $8$ см.