Номер 225, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

225. 1A) Параллельные прямые $a$ и $b$ пересекают стороны угла $O$ в точках $C, D$ и $A, B$ соответственно (рисунок 138). Докажите, что $\triangle OAB \sim \triangle OCD$.

2A) Найдите отношение периметров треугольников $OAB$ и $OCD$ (рисунок 138), если $OC = 2$ см, $AC = 3$ см.

3B) Стороны двух подобных многоугольников относятся как $3 : 4$, а разность их площадей равна $70 \text{ см}^2$. Найдите площади этих многоугольников.

4B) В трапеции $ABCD$ основания $BC = 5$ см и $AD = 7,2$ см, $\angle ABD = \angle BCD$. Найдите диагональ $BD$.

5C) Постройте прямоугольник $ABCD$, в котором $AB : AC = 2 : 3$ и $AD = 5$ см.

1A) Докажите, что ∆OAB ∼ ∆OCD.

Решение
Рассмотрим треугольники ∆OAB и ∆OCD.
Угол $∠O$ является общим для обоих треугольников (по свойству вертикальных углов, если $O$ - точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$, или общий угол, если $O$ - вершина угла, стороны которого пересекают параллельные прямые). Судя по рисунку, $O$ - вершина угла.
По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Прямая $OB$ является секущей для параллельных прямых $a$ и $b$. Следовательно, соответственные углы $∠OCD$ и $∠OAB$ равны ($∠OCD = ∠OAB$).
Аналогично, прямая $OD$ является секущей для параллельных прямых $a$ и $b$. Следовательно, соответственные углы $∠ODC$ и $∠OBA$ равны ($∠ODC = ∠OBA$).
По признаку подобия треугольников по двум углам (AA similarity criterion), если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Поскольку $∠O$ - общий угол, и $∠OCD = ∠OAB$ (или $∠ODC = ∠OBA$), то $∆OAB \sim ∆OCD$.

Ответ: $∆OAB \sim ∆OCD$ доказано.

2A) Найдите отношение периметров треугольников OAB и OCD (рисунок 138), если OC = 2 см, AC = 3 см.

Дано:
$OC = 2$ см
$AC = 3$ см
$∆OAB \sim ∆OCD$ (из пункта 1A)

Перевод в СИ:
$OC = 2 \times 10^{-2}$ м
$AC = 3 \times 10^{-2}$ м

Найти:
$P_{OAB} / P_{OCD}$

Решение
Поскольку треугольники $∆OAB$ и $∆OCD$ подобны, отношение их периметров равно коэффициенту подобия, который равен отношению соответствующих сторон.
Вычислим длину стороны $OA$: $OA = OC + AC = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Коэффициент подобия $k$ для $∆OAB$ к $∆OCD$ равен отношению соответствующих сторон $OA$ и $OC$: $k = \frac{OA}{OC} = \frac{5 \text{ см}}{2 \text{ см}} = 2.5$.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $\frac{P_{OAB}}{P_{OCD}} = k = 2.5$.

Ответ: $2.5$

3B) Стороны двух подобных многоугольников относятся как 3 : 4, а разность их площадей равна 70 см². Найдите площади этих многоугольников.

Дано:
Отношение сторон $k = 3/4$
Разность площадей $S_2 - S_1 = 70 \text{ см}^2$ (где $S_2$ - площадь большего многоугольника, $S_1$ - площадь меньшего многоугольника)

Перевод в СИ:
$S_2 - S_1 = 70 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.007 \text{ м}^2$

Найти:
$S_1$, $S_2$

Решение
Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия их сторон.
Пусть $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{4}$ - отношение сторон, где $a_1$ и $a_2$ - соответствующие стороны первого и второго многоугольника.
Тогда отношение площадей $\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.
Из этого следует, что $S_1 = \frac{9}{16} S_2$.
Мы знаем, что разность их площадей равна 70 см$^2$: $S_2 - S_1 = 70$.
Подставим выражение для $S_1$ в уравнение разности площадей: $S_2 - \frac{9}{16} S_2 = 70$
$\left(1 - \frac{9}{16}\right) S_2 = 70$
$\left(\frac{16 - 9}{16}\right) S_2 = 70$
$\frac{7}{16} S_2 = 70$
$S_2 = \frac{70 \times 16}{7}$
$S_2 = 10 \times 16$
$S_2 = 160 \text{ см}^2$.
Теперь найдем $S_1$: $S_1 = \frac{9}{16} S_2 = \frac{9}{16} \times 160$
$S_1 = 9 \times 10$
$S_1 = 90 \text{ см}^2$.

Ответ: Площади многоугольников равны $90 \text{ см}^2$ и $160 \text{ см}^2$.

4B) В трапеции ABCD основания BC = 5 см и AD = 7,2 см, ∠ABD = ∠BCD. Найдите диагональ BD.

Дано:
Трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$)
$BC = 5$ см
$AD = 7.2$ см
$∠ABD = ∠BCD$

Перевод в СИ:
$BC = 5 \times 10^{-2}$ м
$AD = 7.2 \times 10^{-2}$ м

Найти:
$BD$

Решение
Рассмотрим треугольники $∆ABD$ и $∆DCB$.
1. По условию, $∠ABD = ∠BCD$.
2. Так как $ABCD$ - трапеция, то основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ $BD$ является секущей. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $∠CBD$ и $∠ADB$ равны ($∠CBD = ∠ADB$).
Исходя из двух равных углов ($∠ABD = ∠BCD$ и $∠CBD = ∠ADB$), треугольники $∆ABD$ и $∆DCB$ подобны по признаку подобия по двум углам (AA similarity criterion). Важно правильно сопоставить вершины: $∆ABD \sim ∆DCB$.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AB}{DC} = \frac{BD}{CB} = \frac{AD}{DB}$
Рассмотрим часть пропорции, которая включает $BD$: $\frac{BD}{CB} = \frac{AD}{DB}$
Перемножим крест-накрест: $BD \times DB = CB \times AD$
$BD^2 = BC \times AD$
Подставим известные значения: $BD^2 = 5 \text{ см} \times 7.2 \text{ см}$
$BD^2 = 36 \text{ см}^2$
$BD = \sqrt{36}$
$BD = 6$ см.

Ответ: $BD = 6$ см.

5C) Постройте прямоугольник ABCD, в котором AB : AC = 2 : 3 и AD = 5 см.

Дано:
Прямоугольник $ABCD$
$AB : AC = 2 : 3$
$AD = 5$ см

Перевод в СИ:
$AD = 5 \times 10^{-2}$ м

Найти:
Построить прямоугольник $ABCD$.

Решение
В прямоугольнике $ABCD$, треугольник $∆ABD$ является прямоугольным с прямым углом $∠A$. По теореме Пифагора $AB^2 + AD^2 = BD^2$.
В прямоугольнике диагонали равны, то есть $BD = AC$. Следовательно, $AB^2 + AD^2 = AC^2$.
Дано отношение $AB : AC = 2 : 3$. Пусть $AB = 2x$ и $AC = 3x$.
Подставим эти значения и $AD = 5$ см в уравнение Пифагора: $(2x)^2 + 5^2 = (3x)^2$
$4x^2 + 25 = 9x^2$
$25 = 9x^2 - 4x^2$
$25 = 5x^2$
$x^2 = 5$
$x = \sqrt{5}$ (поскольку длина должна быть положительной).
Тогда длины сторон будут: $AB = 2x = 2\sqrt{5}$ см
$AD = 5$ см.
Для построения прямоугольника нам нужны длины сторон $AD$ и $AB$. $AD=5$ см, $AB=2\sqrt{5}$ см. Для построения $2\sqrt{5}$ см сначала нужно построить $\sqrt{5}$ см.
Шаги построения:
1. Начертите отрезок $AD$ длиной 5 см.
2. В точке $A$ постройте луч $AX$, перпендикулярный отрезку $AD$. (Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив перпендикуляр к отрезку через его конец).
3. Построение отрезка длиной $2\sqrt{5}$ см:
 a. На отдельном участке листа постройте прямой угол.
 b. От вершины прямого угла отложите по одному катету отрезок длиной 1 условную единицу (например, 1 см).
 c. По другому катету отложите отрезок длиной 2 условные единицы (например, 2 см).
 d. Соедините концы этих двух отрезков. Длина полученной гипотенузы будет $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ условных единиц.
 e. С помощью циркуля отложите полученную длину $\sqrt{5}$ см два раза вдоль прямой или на прямой, чтобы получить отрезок длиной $2\sqrt{5}$ см. Назовите его $L_{AB}$.
4. Завершение построения прямоугольника:
 a. С помощью циркуля отмерьте длину $L_{AB}$ ($2\sqrt{5}$ см). Установите ножку циркуля в точку $A$ и проведите дугу, пересекающую луч $AX$. Точку пересечения обозначьте $B$. Таким образом, $AB = 2\sqrt{5}$ см.
 b. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $AD$ (5 см). Установите ножку циркуля в точку $B$ и проведите дугу.
 c. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $AB$ ($2\sqrt{5}$ см). Установите ножку циркуля в точку $D$ и проведите дугу.
 d. Точка пересечения двух дуг, построенных в шагах 4b и 4c, является точкой $C$.
 e. Соедините последовательно точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$, чтобы получить прямоугольник $ABCD$.

Ответ: Прямоугольник $ABCD$ построен согласно описанным шагам.