Страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

218. В $\triangle ABC \angle A = 50^\circ, \angle B = 70^\circ, BH$ и $AK$ – высоты. Докажите, что $\triangle BAC \sim \triangle HKC$ и найдите углы $\triangle HKC$.

Дано:

треугольник $ABC$, $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. $BH$ и $AK$ — высоты.

Перевод в СИ:

Для углов, заданных в градусах, перевод в систему СИ не требуется, так как градусы являются общепринятой единицей измерения углов в геометрии.

Найти:

Доказать, что $\triangle BAC \sim \triangle HKC$.

Найти углы $\triangle HKC$.

Решение:

Докажите, что $\triangle BAC \sim \triangle HKC$

1. Для начала найдем величину угла $C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$. Подставим известные значения: $\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AKC$ и $\triangle BHC$. Так как $AK$ — высота, то $\angle AKC = 90^\circ$. Так как $BH$ — высота, то $\angle BHC = 90^\circ$.

3. Эти два прямоугольных треугольника, $\triangle AKC$ и $\triangle BHC$, имеют общий угол $\angle C$. Поскольку они оба прямоугольные (имеют угол $90^\circ$) и имеют общий острый угол $\angle C$, они подобны по двум углам (критерий подобия АА): $\triangle AKC \sim \triangle BHC$.

4. Из подобия $\triangle AKC \sim \triangle BHC$ следует пропорциональность соответствующих сторон. Соответствие вершин такое: $A \leftrightarrow B$, $K \leftrightarrow H$, $C \leftrightarrow C$. Значит, $\frac{KC}{HC} = \frac{AC}{BC}$. Эту пропорцию можно переписать как $\frac{KC}{AC} = \frac{HC}{BC}$.

5. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle HKC$ и $\triangle ABC$. а) Они имеют общий угол $\angle C$. б) Стороны, прилежащие к углу $\angle C$, пропорциональны: $\frac{KC}{AC} = \frac{HC}{BC}$ (это было установлено в пункте 4). Следовательно, по критерию подобия по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (критерий подобия СУС), треугольники $\triangle HKC$ и $\triangle ABC$ подобны: $\triangle HKC \sim \triangle ABC$.

6. Из подобия $\triangle HKC \sim \triangle ABC$ следует соответствие углов: $\angle H_{HKC}$ соответствует $\angle B_{ABC}$, т.е. $\angle CHK = \angle B = 70^\circ$. $\angle K_{HKC}$ соответствует $\angle A_{ABC}$, т.е. $\angle CKH = \angle A = 50^\circ$. $\angle C_{HKC}$ соответствует $\angle C_{ABC}$, т.е. $\angle HCK = \angle C = 60^\circ$. Порядок вершин в требуемом подобии $\triangle BAC \sim \triangle HKC$ означает, что: $\angle B_{BAC}$ (угол $B$ в $\triangle ABC$) соответствует $\angle H_{HKC}$ (угол $H$ в $\triangle HKC$), что подтверждается: $\angle B = \angle CHK$. $\angle A_{BAC}$ (угол $A$ в $\triangle ABC$) соответствует $\angle K_{HKC}$ (угол $K$ в $\triangle HKC$), что подтверждается: $\angle A = \angle CKH$. $\angle C_{BAC}$ (угол $C$ в $\triangle ABC$) соответствует $\angle C_{HKC}$ (угол $C$ в $\triangle HKC$), что подтверждается: $\angle C = \angle HCK$. Таким образом, подобие $\triangle BAC \sim \triangle HKC$ доказано.

Ответ: Доказано.

найдите углы $\triangle HKC$

Используя доказанное подобие $\triangle HKC \sim \triangle ABC$, мы можем найти углы $\triangle HKC$:

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников. Поэтому $\angle HCK = \angle C_{ABC} = 60^\circ$.

2. Угол при вершине $H$ в $\triangle HKC$ соответствует углу при вершине $B$ в $\triangle ABC$. Следовательно, $\angle CHK = \angle ABC = 70^\circ$.

3. Угол при вершине $K$ в $\triangle HKC$ соответствует углу при вершине $A$ в $\triangle ABC$. Следовательно, $\angle CKH = \angle BAC = 50^\circ$.

Проверка: Сумма углов $\triangle HKC$ составляет $60^\circ + 70^\circ + 50^\circ = 180^\circ$, что соответствует свойству суммы углов треугольника.

Ответ: Углы $\triangle HKC$: $\angle C = 60^\circ$, $\angle H = 70^\circ$, $\angle K = 50^\circ$.

219. В треугольнике ABC $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 50^\circ$, $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Докажите, что $\frac{b}{c} = \frac{c}{a+b}$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Угол $\angle A = 30^\circ$.

Угол $\angle B = 50^\circ$.

Длины сторон: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

Перевод в СИ:

Данная задача не содержит физических величин, требующих перевода в систему СИ.

Найти:

Доказать, что $\frac{b}{c} = \frac{c}{a+b}$.

Решение:

Найдем величину третьего угла треугольника $\angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$
$\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 50^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 80^\circ$
$\angle C = 100^\circ$

Применим теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянной величиной для данного треугольника:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Выразим стороны $a$ и $b$ через сторону $c$ и синусы соответствующих углов:

$b = c \frac{\sin B}{\sin C}$
$a = c \frac{\sin A}{\sin C}$

Подставим эти выражения в правую часть доказываемого равенства $\frac{c}{a+b}$:

Правая часть $= \frac{c}{c \frac{\sin A}{\sin C} + c \frac{\sin B}{\sin C}}$

Вынесем $c$ за скобки в знаменателе:

Правая часть $= \frac{c}{c \left(\frac{\sin A}{\sin C} + \frac{\sin B}{\sin C}\right)}$

Сократим $c$ в числителе и знаменателе:

Правая часть $= \frac{1}{\frac{\sin A + \sin B}{\sin C}}$
Правая часть $= \frac{\sin C}{\sin A + \sin B}$

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства $\frac{b}{c}$:

Левая часть $= \frac{b}{c}$

Подставим $b = c \frac{\sin B}{\sin C}$:

Левая часть $= \frac{c \frac{\sin B}{\sin C}}{c}$
Левая часть $= \frac{\sin B}{\sin C}$

Для доказательства исходного равенства $\frac{b}{c} = \frac{c}{a+b}$ необходимо доказать эквивалентное равенство:

$\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\sin C}{\sin A + \sin B}$

Перемножим крест-на-крест:

$\sin B (\sin A + \sin B) = \sin^2 C$

Подставим известные значения углов $A=30^\circ$, $B=50^\circ$, $C=100^\circ$:

$\sin 50^\circ (\sin 30^\circ + \sin 50^\circ) = \sin^2 100^\circ$

Мы знаем, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Также, $\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.
Подставим эти значения:

$\sin 50^\circ \left(\frac{1}{2} + \sin 50^\circ\right) = \sin^2 80^\circ$
$\frac{1}{2} \sin 50^\circ + \sin^2 50^\circ = \sin^2 80^\circ$

Используем тригонометрическую формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$:

$\frac{1}{2} \sin 50^\circ + \frac{1 - \cos (2 \cdot 50^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos (2 \cdot 80^\circ)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sin 50^\circ + (1 - \cos 100^\circ) = (1 - \cos 160^\circ)$
$\sin 50^\circ - \cos 100^\circ = - \cos 160^\circ$

Используем формулу приведения $\cos (180^\circ - x) = -\cos x$. Для $x=20^\circ$, $\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ$.
Подставим это в уравнение:

$\sin 50^\circ - \cos 100^\circ = - (-\cos 20^\circ)$
$\sin 50^\circ - \cos 100^\circ = \cos 20^\circ$

Далее, используем формулу приведения $\cos (90^\circ + x) = -\sin x$. Для $x=10^\circ$, $\cos 100^\circ = -\sin 10^\circ$.
Подставим это:

$\sin 50^\circ - (-\sin 10^\circ) = \cos 20^\circ$
$\sin 50^\circ + \sin 10^\circ = \cos 20^\circ$

Применим формулу суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.
Левая часть равенства:

$2 \sin\left(\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{50^\circ-10^\circ}{2}\right)$
$2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ}{2}\right)$
$2 \sin 30^\circ \cos 20^\circ$

Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ$
$\cos 20^\circ$

Таким образом, левая часть равна $\cos 20^\circ$, что совпадает с правой частью равенства. Следовательно, исходное равенство доказано.

Ответ:

Доказано.

220. В $ \triangle ABC $ $ AA_1 $, $ BB_1 $, $ CC_1 $ – медианы, $ M $ – точка их пересечения, $ M_1 $ – точка, симметричная точке $ M $ относительно точки $ B_1 $:

а) докажите, что $ \triangle AMM_1 $ подобен $ \triangle DPF $, стороны которого равны медианам $ \triangle ABC $;

б) найдите отношение площадей этих треугольников;

в) какую часть площади $ \triangle ABC $ составляет площадь $ \triangle DPF $?

a) докажите, что $\Delta AMM_1$ подобен $\Delta DPF$, стороны которого равны медианам $\Delta ABC$;

Дано:

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Точка $M$ — точка их пересечения (центроид). Точка $M_1$ — точка, симметричная $M$ относительно $B_1$. Треугольник $DPF$ имеет стороны, равные медианам треугольника $ABC$. Пусть $m_a = AA_1$, $m_b = BB_1$, $m_c = CC_1$ — длины медиан.

Найти:

Доказать, что $\Delta AMM_1$ подобен $\Delta DPF$.

Решение:

1.

Определим длины сторон треугольника $AMM_1$.

По свойству медиан, точка пересечения медиан $M$ делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно:

• $AM = \frac{2}{3} AA_1 = \frac{2}{3} m_a$.
• $BM = \frac{2}{3} BB_1 = \frac{2}{3} m_b$, и $MB_1 = \frac{1}{3} BB_1 = \frac{1}{3} m_b$.
• $CM = \frac{2}{3} CC_1 = \frac{2}{3} m_c$.

2.

Точка $M_1$ симметрична точке $M$ относительно $B_1$. Это означает, что $B_1$ является серединой отрезка $MM_1$.

Тогда $MM_1 = 2 \cdot MB_1 = 2 \cdot \frac{1}{3} m_b = \frac{2}{3} m_b$.

3.

Рассмотрим четырехугольник $AMCM_1$. Поскольку $B_1$ — середина $AC$ (так как $BB_1$ — медиана) и $B_1$ — середина $MM_1$ (по определению симметрии), диагонали $AC$ и $MM_1$ этого четырехугольника пересекаются в их середине. Следовательно, $AMCM_1$ является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны равны. Значит, $AM_1 = MC$.

Мы знаем, что $MC = \frac{2}{3} m_c$. Таким образом, $AM_1 = \frac{2}{3} m_c$.

4.

Итак, стороны треугольника $AMM_1$ имеют длины:

• $AM = \frac{2}{3} m_a$
• $MM_1 = \frac{2}{3} m_b$
• $AM_1 = \frac{2}{3} m_c$

5.

По условию, стороны треугольника $DPF$ равны медианам треугольника $ABC$, то есть $m_a$, $m_b$, $m_c$.

Сравним отношения соответствующих сторон треугольников $AMM_1$ и $DPF$:

• $\frac{AM}{\text{сторона } DPF \text{ соответствующая } m_a} = \frac{\frac{2}{3} m_a}{m_a} = \frac{2}{3}$
• $\frac{MM_1}{\text{сторона } DPF \text{ соответствующая } m_b} = \frac{\frac{2}{3} m_b}{m_b} = \frac{2}{3}$
• $\frac{AM_1}{\text{сторона } DPF \text{ соответствующая } m_c} = \frac{\frac{2}{3} m_c}{m_c} = \frac{2}{3}$

Все три отношения сторон равны одному и тому же числу $k = \frac{2}{3}$. По третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам), $\Delta AMM_1$ подобен $\Delta DPF$ с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$.

Ответ:

б) найдите отношение площадей этих треугольников;

Дано:

Треугольники $\Delta AMM_1$ и $\Delta DPF$ подобны с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$ (доказано в пункте а).

Найти:

Отношение площадей $\frac{S_{AMM_1}}{S_{DPF}}$.

Решение:

Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия $k$, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.

В данном случае коэффициент подобия $k = \frac{2}{3}$.

Следовательно, $\frac{S_{AMM_1}}{S_{DPF}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

в) какую часть площади $\Delta ABC$ составляет площадь $\Delta DPF$?

Дано:

Треугольник $ABC$. $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — медианы. $M$ — центроид. $M_1$ — точка, симметричная $M$ относительно $B_1$. Треугольник $DPF$ со сторонами, равными медианам $AA_1, BB_1, CC_1$.

Найти:

Какую часть площади $\Delta ABC$ составляет площадь $\Delta DPF$, то есть $\frac{S_{DPF}}{S_{ABC}}$.

Решение:

1.

Найдем площадь треугольника $AMM_1$ в зависимости от площади $S_{ABC}$.

Точка $M$ (центроид) делит медианы в отношении $2:1$. Медиана $BB_1$ делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника: $S_{ABB_1} = S_{CBB_1} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. $AM$ — это отрезок медианы $AA_1$. $M$ — точка пересечения медиан. $B_1M$ — часть медианы $BB_1$.

Мы знаем, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. В частности, $S_{AMB_1} = \frac{1}{6}S_{ABC}$.

В пункте а) мы установили, что $MM_1 = 2 \cdot MB_1$. Рассмотрим треугольники $AMB_1$ и $AMM_1$. Они имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую, содержащую основания $MB_1$ и $MM_1$.

Площадь треугольника прямо пропорциональна длине его основания при одинаковой высоте.$S_{AMM_1} = \frac{1}{2} \cdot MM_1 \cdot h_A$, где $h_A$ — высота из $A$ на $BB_1$.$S_{AMB_1} = \frac{1}{2} \cdot MB_1 \cdot h_A$.Так как $MM_1 = 2 \cdot MB_1$, то $S_{AMM_1} = 2 \cdot S_{AMB_1}$.

Подставим $S_{AMB_1} = \frac{1}{6}S_{ABC}$:$S_{AMM_1} = 2 \cdot \frac{1}{6}S_{ABC} = \frac{1}{3}S_{ABC}$.

2.

Используем отношение площадей из пункта б).

Из пункта б) мы знаем, что $\frac{S_{AMM_1}}{S_{DPF}} = \frac{4}{9}$.

Отсюда $S_{DPF} = \frac{9}{4} S_{AMM_1}$.

3.

Подставим выражение для $S_{AMM_1}$ из шага 1:

$S_{DPF} = \frac{9}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}S_{ABC}\right) = \frac{9}{12} S_{ABC} = \frac{3}{4} S_{ABC}$.

Таким образом, площадь треугольника $DPF$ составляет $\frac{3}{4}$ части площади треугольника $ABC$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

221. В окружности проведены диаметр $AB$ и параллельные между собой хорды $AC$ и $BD$. Постройте, если возможно, центр и ось симметрии этих хорд.

Дано:

Окружность, диаметр $AB$, хорды $AC$ и $BD$, причем $AC \parallel BD$.

Найти:

Построить центр окружности и ось симметрии хорд $AC$ и $BD$.

Решение

Центр окружности:

1. Поскольку $AB$ является диаметром окружности, центр окружности $O$ лежит на этом диаметре и является его серединой.

2. Для нахождения середины отрезка $AB$ построим его серединный перпендикуляр:

a) Из точки $A$ как центра проведем дугу радиусом, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$.

b) Из точки $B$ как центра проведем такую же дугу тем же радиусом, так чтобы она пересеклась с первой дугой в двух точках.

c) Обозначим точки пересечения этих дуг $P_1$ и $P_2$.

d) Проведем прямую через точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

3. Точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком $AB$ является центром окружности. Обозначим эту точку $O$.

Ответ: Центр окружности построен как середина диаметра $AB$.

Ось симметрии этих хорд:

1. Известно, что хорды $AC$ и $BD$ параллельны. Ось симметрии двух параллельных хорд в окружности - это прямая, которая проходит через центр окружности и перпендикулярна обеим хордам.

2. Для построения такой оси симметрии, достаточно построить серединный перпендикуляр к одной из хорд, например, к хорде $AC$. Этот серединный перпендикуляр будет проходить через центр окружности $O$ (который мы уже построили) и будет являться искомой осью симметрии.

3. Построение серединного перпендикуляра к хорде $AC$:

a) Из точки $A$ как центра проведем дугу радиусом, который заведомо больше половины длины хорды $AC$.

b) Из точки $C$ как центра проведем такую же дугу тем же радиусом, так чтобы она пересеклась с первой дугой в двух точках.

c) Обозначим точки пересечения этих дуг $Q_1$ и $Q_2$.

d) Проведем прямую через точки $Q_1$ и $Q_2$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к хорде $AC$.

4. Эта прямая проходит через центр $O$ (по свойству, что серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности) и перпендикулярна хорде $AC$. Поскольку хорда $AC$ параллельна хорде $BD$, эта прямая также перпендикулярна хорде $BD$. Таким образом, эта прямая является осью симметрии для параллельных хорд $AC$ и $BD$. Обозначим ее $L$.

Ответ: Ось симметрии хорд $AC$ и $BD$ построена как серединный перпендикуляр к хорде $AC$ (или $BD$), проходящий через центр окружности.

222. При повороте вокруг начала координат по часовой стрелке точка A(6; 8) перешла в точку B(8; 6). Найдите косинус угла поворота.

Дано

Начальная точка: $A(x_A, y_A) = (6; 8)$

Конечная точка после поворота: $B(x_B, y_B) = (8; 6)$

Поворот осуществляется вокруг начала координат $(0; 0)$ по часовой стрелке.

Найти:

Косинус угла поворота, $\cos \phi$.

Решение

При повороте точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $\theta$ против часовой стрелки, новые координаты $(x', y')$ определяются формулами:

$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$

$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$

В данной задаче поворот осуществляется по часовой стрелке на угол $\phi$. Это эквивалентно повороту на угол $-\phi$ против часовой стрелки. Тогда формулы преобразования координат для точек $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ примут вид:

$x_B = x_A \cos(-\phi) - y_A \sin(-\phi)$

$y_B = x_A \sin(-\phi) + y_A \cos(-\phi)$

Используя тригонометрические тождества $\cos(-\phi) = \cos \phi$ и $\sin(-\phi) = -\sin \phi$, перепишем эти формулы:

$x_B = x_A \cos \phi + y_A \sin \phi$ (1)

$y_B = -x_A \sin \phi + y_A \cos \phi$ (2)

Теперь подставим известные значения координат точек $A(6; 8)$ и $B(8; 6)$ в эти уравнения:

$8 = 6 \cos \phi + 8 \sin \phi$ (1')

$6 = -6 \sin \phi + 8 \cos \phi$ (2')

Мы получили систему из двух линейных уравнений относительно $\cos \phi$ и $\sin \phi$. Наша цель - найти $\cos \phi$. Для этого умножим уравнение (1') на 3, а уравнение (2') на 4, чтобы коэффициенты при $\sin \phi$ стали противоположными по знаку и их можно было бы сократить при сложении:

$3 \times (8 = 6 \cos \phi + 8 \sin \phi) \Rightarrow 24 = 18 \cos \phi + 24 \sin \phi$

$4 \times (6 = 8 \cos \phi - 6 \sin \phi) \Rightarrow 24 = 32 \cos \phi - 24 \sin \phi$

Теперь сложим эти два новых уравнения:

$(18 \cos \phi + 24 \sin \phi) + (32 \cos \phi - 24 \sin \phi) = 24 + 24$

$18 \cos \phi + 32 \cos \phi = 48$

$50 \cos \phi = 48$

Разделим обе части уравнения на 50, чтобы найти значение $\cos \phi$:

$\cos \phi = \frac{48}{50}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\cos \phi = \frac{24}{25}$

Ответ:

Косинус угла поворота равен $\frac{24}{25}$.

223. При параллельном переносе точка $A(3; 2)$ отображается на точку $B(0; 6)$, а точка $C$ – на точку $D(-3; 2)$. Найдите координаты точки $C$.

Дано:

точка $A(3; 2)$

точка $B(0; 6)$

точка $D(-3; 2)$

При параллельном переносе точка $A$ отображается на точку $B$, а точка $C$ на точку $D$.

Найти:

координаты точки $C(x_C; y_C)$

Решение:

При параллельном переносе каждая точка смещается на один и тот же вектор. Найдем координаты вектора переноса $\vec{T}(T_x; T_y)$, используя информацию о точках $A$ и $B$.

Координаты вектора переноса определяются как разность координат конечной и начальной точки:

$T_x = x_B - x_A$

$T_y = y_B - y_A$

Подставим известные значения для точек $A(3; 2)$ и $B(0; 6)$:

$T_x = 0 - 3 = -3$

$T_y = 6 - 2 = 4$

Таким образом, вектор параллельного переноса $\vec{T}(-3; 4)$.

Теперь используем этот же вектор для нахождения координат точки $C(x_C; y_C)$, зная, что она отображается на точку $D(-3; 2)$. Формулы для переноса выглядят так:

$x_D = x_C + T_x$

$y_D = y_C + T_y$

Из этих уравнений выразим координаты точки $C$:

$x_C = x_D - T_x$

$y_C = y_D - T_y$

Подставим известные значения для точки $D(-3; 2)$ и вектора $\vec{T}(-3; 4)$:

$x_C = -3 - (-3) = -3 + 3 = 0$

$y_C = 2 - 4 = -2$

Следовательно, координаты точки $C$ равны $(0; -2)$.

Ответ:

Координаты точки $C(0; -2)$.

224. Даны угол и точка внутри него. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через эту точку.

Дано:

Угол $\angle ABC$ и точка $M$, расположенная внутри этого угла.

Найти:

Построить окружность, касающуюся сторон угла $\angle ABC$ и проходящую через точку $M$.

Решение:

Центр искомой окружности должен быть равноудален от сторон угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла. Для решения задачи воспользуемся методом гомотетии.

1. Построение биссектрисы угла: Проведем биссектрису $BL$ данного угла $\angle ABC$. Центр $O$ искомой окружности обязательно лежит на этой биссектрисе.

2. Построение вспомогательной окружности: Выберем на биссектрисе $BL$ произвольную точку $O'$. Из точки $O'$ опустим перпендикуляр $O'P'$ на одну из сторон угла, например, на $AB$ (точка $P'$ лежит на $AB$). Длина отрезка $O'P'$ будет радиусом $r'$ вспомогательной окружности $\omega'$. Построим окружность $\omega'$ с центром $O'$ и радиусом $r'$. Эта окружность по построению касается обеих сторон угла $AB$ и $BC$.

3. Построение луча через данную точку: Проведем луч $BM$, исходящий из вершины угла $B$ и проходящий через данную точку $M$.

4. Нахождение точек пересечения: Луч $BM$ может пересечь вспомогательную окружность $\omega'$ в одной или двух точках. Обозначим эти точки пересечения как $M_1'$ и $M_2'$ (если их две; если луч касается окружности, то $M_1'$ и $M_2'$ совпадают).

5. Определение центров искомых окружностей с помощью гомотетии: * Для каждой точки пересечения $M_i'$ (где $i=1$ или $i=1,2$) искомая окружность является образом вспомогательной окружности $\omega'$ при гомотетии с центром $B$ и коэффициентом $k_i = \frac{BM}{BM_i'}$. * Для построения центра $O_i$ искомой окружности, который будет лежать на биссектрисе $BL$, выполним следующее: * Проведем прямую $O'M_i'$. * Через точку $M$ проведем прямую, параллельную $O'M_i'$. Эта параллельная прямая пересечет биссектрису $BL$ в точке $O_i$. Точка $O_i$ является центром одной из искомых окружностей.

6. Определение радиусов искомых окружностей: Для каждого найденного центра $O_i$, радиус $r_i$ искомой окружности будет равен перпендикулярному расстоянию от $O_i$ до любой из сторон угла. Опустим перпендикуляр $O_i K_i$ из $O_i$ на сторону $AB$ (точка $K_i$ лежит на $AB$). Тогда $r_i = O_i K_i$.

7. Построение искомых окружностей: Построим окружности с центрами $O_i$ и радиусами $r_i$. Каждая такая окружность будет касаться сторон угла $\angle ABC$ и проходить через данную точку $M$. В зависимости от расположения точки $M$ и вспомогательной окружности, может быть одна или две такие окружности.

Ответ: Искомая окружность (или окружности) построена по вышеописанному алгоритму.

225. 1A) Параллельные прямые $a$ и $b$ пересекают стороны угла $O$ в точках $C, D$ и $A, B$ соответственно (рисунок 138). Докажите, что $\triangle OAB \sim \triangle OCD$.

2A) Найдите отношение периметров треугольников $OAB$ и $OCD$ (рисунок 138), если $OC = 2$ см, $AC = 3$ см.

3B) Стороны двух подобных многоугольников относятся как $3 : 4$, а разность их площадей равна $70 \text{ см}^2$. Найдите площади этих многоугольников.

4B) В трапеции $ABCD$ основания $BC = 5$ см и $AD = 7,2$ см, $\angle ABD = \angle BCD$. Найдите диагональ $BD$.

5C) Постройте прямоугольник $ABCD$, в котором $AB : AC = 2 : 3$ и $AD = 5$ см.

1A) Докажите, что ∆OAB ∼ ∆OCD.

Решение
Рассмотрим треугольники ∆OAB и ∆OCD.
Угол $∠O$ является общим для обоих треугольников (по свойству вертикальных углов, если $O$ - точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$, или общий угол, если $O$ - вершина угла, стороны которого пересекают параллельные прямые). Судя по рисунку, $O$ - вершина угла.
По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Прямая $OB$ является секущей для параллельных прямых $a$ и $b$. Следовательно, соответственные углы $∠OCD$ и $∠OAB$ равны ($∠OCD = ∠OAB$).
Аналогично, прямая $OD$ является секущей для параллельных прямых $a$ и $b$. Следовательно, соответственные углы $∠ODC$ и $∠OBA$ равны ($∠ODC = ∠OBA$).
По признаку подобия треугольников по двум углам (AA similarity criterion), если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Поскольку $∠O$ - общий угол, и $∠OCD = ∠OAB$ (или $∠ODC = ∠OBA$), то $∆OAB \sim ∆OCD$.

Ответ: $∆OAB \sim ∆OCD$ доказано.

2A) Найдите отношение периметров треугольников OAB и OCD (рисунок 138), если OC = 2 см, AC = 3 см.

Дано:
$OC = 2$ см
$AC = 3$ см
$∆OAB \sim ∆OCD$ (из пункта 1A)

Перевод в СИ:
$OC = 2 \times 10^{-2}$ м
$AC = 3 \times 10^{-2}$ м

Найти:
$P_{OAB} / P_{OCD}$

Решение
Поскольку треугольники $∆OAB$ и $∆OCD$ подобны, отношение их периметров равно коэффициенту подобия, который равен отношению соответствующих сторон.
Вычислим длину стороны $OA$: $OA = OC + AC = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Коэффициент подобия $k$ для $∆OAB$ к $∆OCD$ равен отношению соответствующих сторон $OA$ и $OC$: $k = \frac{OA}{OC} = \frac{5 \text{ см}}{2 \text{ см}} = 2.5$.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $\frac{P_{OAB}}{P_{OCD}} = k = 2.5$.

Ответ: $2.5$

3B) Стороны двух подобных многоугольников относятся как 3 : 4, а разность их площадей равна 70 см². Найдите площади этих многоугольников.

Дано:
Отношение сторон $k = 3/4$
Разность площадей $S_2 - S_1 = 70 \text{ см}^2$ (где $S_2$ - площадь большего многоугольника, $S_1$ - площадь меньшего многоугольника)

Перевод в СИ:
$S_2 - S_1 = 70 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.007 \text{ м}^2$

Найти:
$S_1$, $S_2$

Решение
Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия их сторон.
Пусть $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{4}$ - отношение сторон, где $a_1$ и $a_2$ - соответствующие стороны первого и второго многоугольника.
Тогда отношение площадей $\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.
Из этого следует, что $S_1 = \frac{9}{16} S_2$.
Мы знаем, что разность их площадей равна 70 см$^2$: $S_2 - S_1 = 70$.
Подставим выражение для $S_1$ в уравнение разности площадей: $S_2 - \frac{9}{16} S_2 = 70$
$\left(1 - \frac{9}{16}\right) S_2 = 70$
$\left(\frac{16 - 9}{16}\right) S_2 = 70$
$\frac{7}{16} S_2 = 70$
$S_2 = \frac{70 \times 16}{7}$
$S_2 = 10 \times 16$
$S_2 = 160 \text{ см}^2$.
Теперь найдем $S_1$: $S_1 = \frac{9}{16} S_2 = \frac{9}{16} \times 160$
$S_1 = 9 \times 10$
$S_1 = 90 \text{ см}^2$.

Ответ: Площади многоугольников равны $90 \text{ см}^2$ и $160 \text{ см}^2$.

4B) В трапеции ABCD основания BC = 5 см и AD = 7,2 см, ∠ABD = ∠BCD. Найдите диагональ BD.

Дано:
Трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$)
$BC = 5$ см
$AD = 7.2$ см
$∠ABD = ∠BCD$

Перевод в СИ:
$BC = 5 \times 10^{-2}$ м
$AD = 7.2 \times 10^{-2}$ м

Найти:
$BD$

Решение
Рассмотрим треугольники $∆ABD$ и $∆DCB$.
1. По условию, $∠ABD = ∠BCD$.
2. Так как $ABCD$ - трапеция, то основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ $BD$ является секущей. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $∠CBD$ и $∠ADB$ равны ($∠CBD = ∠ADB$).
Исходя из двух равных углов ($∠ABD = ∠BCD$ и $∠CBD = ∠ADB$), треугольники $∆ABD$ и $∆DCB$ подобны по признаку подобия по двум углам (AA similarity criterion). Важно правильно сопоставить вершины: $∆ABD \sim ∆DCB$.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AB}{DC} = \frac{BD}{CB} = \frac{AD}{DB}$
Рассмотрим часть пропорции, которая включает $BD$: $\frac{BD}{CB} = \frac{AD}{DB}$
Перемножим крест-накрест: $BD \times DB = CB \times AD$
$BD^2 = BC \times AD$
Подставим известные значения: $BD^2 = 5 \text{ см} \times 7.2 \text{ см}$
$BD^2 = 36 \text{ см}^2$
$BD = \sqrt{36}$
$BD = 6$ см.

Ответ: $BD = 6$ см.

5C) Постройте прямоугольник ABCD, в котором AB : AC = 2 : 3 и AD = 5 см.

Дано:
Прямоугольник $ABCD$
$AB : AC = 2 : 3$
$AD = 5$ см

Перевод в СИ:
$AD = 5 \times 10^{-2}$ м

Найти:
Построить прямоугольник $ABCD$.

Решение
В прямоугольнике $ABCD$, треугольник $∆ABD$ является прямоугольным с прямым углом $∠A$. По теореме Пифагора $AB^2 + AD^2 = BD^2$.
В прямоугольнике диагонали равны, то есть $BD = AC$. Следовательно, $AB^2 + AD^2 = AC^2$.
Дано отношение $AB : AC = 2 : 3$. Пусть $AB = 2x$ и $AC = 3x$.
Подставим эти значения и $AD = 5$ см в уравнение Пифагора: $(2x)^2 + 5^2 = (3x)^2$
$4x^2 + 25 = 9x^2$
$25 = 9x^2 - 4x^2$
$25 = 5x^2$
$x^2 = 5$
$x = \sqrt{5}$ (поскольку длина должна быть положительной).
Тогда длины сторон будут: $AB = 2x = 2\sqrt{5}$ см
$AD = 5$ см.
Для построения прямоугольника нам нужны длины сторон $AD$ и $AB$. $AD=5$ см, $AB=2\sqrt{5}$ см. Для построения $2\sqrt{5}$ см сначала нужно построить $\sqrt{5}$ см.
Шаги построения:
1. Начертите отрезок $AD$ длиной 5 см.
2. В точке $A$ постройте луч $AX$, перпендикулярный отрезку $AD$. (Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив перпендикуляр к отрезку через его конец).
3. Построение отрезка длиной $2\sqrt{5}$ см:
 a. На отдельном участке листа постройте прямой угол.
 b. От вершины прямого угла отложите по одному катету отрезок длиной 1 условную единицу (например, 1 см).
 c. По другому катету отложите отрезок длиной 2 условные единицы (например, 2 см).
 d. Соедините концы этих двух отрезков. Длина полученной гипотенузы будет $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ условных единиц.
 e. С помощью циркуля отложите полученную длину $\sqrt{5}$ см два раза вдоль прямой или на прямой, чтобы получить отрезок длиной $2\sqrt{5}$ см. Назовите его $L_{AB}$.
4. Завершение построения прямоугольника:
 a. С помощью циркуля отмерьте длину $L_{AB}$ ($2\sqrt{5}$ см). Установите ножку циркуля в точку $A$ и проведите дугу, пересекающую луч $AX$. Точку пересечения обозначьте $B$. Таким образом, $AB = 2\sqrt{5}$ см.
 b. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $AD$ (5 см). Установите ножку циркуля в точку $B$ и проведите дугу.
 c. С помощью циркуля отмерьте длину отрезка $AB$ ($2\sqrt{5}$ см). Установите ножку циркуля в точку $D$ и проведите дугу.
 d. Точка пересечения двух дуг, построенных в шагах 4b и 4c, является точкой $C$.
 e. Соедините последовательно точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$, чтобы получить прямоугольник $ABCD$.

Ответ: Прямоугольник $ABCD$ построен согласно описанным шагам.