Страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

191. Даны два квадрата со сторонами $a$ и $b$, причем $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$. Найдите отношение:

а) периметров этих квадратов;

б) площадей данных квадратов.

Дано:

стороны двух квадратов: $a$, $b$

отношение сторон: $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

Найти:

а) отношение периметров: $\frac{P_a}{P_b}$

б) отношение площадей: $\frac{S_a}{S_b}$

Решение

а) периметров этих квадратов

Периметр квадрата со стороной $a$ равен $P_a = 4a$.

Периметр квадрата со стороной $b$ равен $P_b = 4b$.

Отношение периметров этих квадратов равно:

$\frac{P_a}{P_b} = \frac{4a}{4b} = \frac{a}{b}$

Так как по условию $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$, то отношение периметров равно $\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

б) площадей данных квадратов

Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_a = a^2$.

Площадь квадрата со стороной $b$ равна $S_b = b^2$.

Отношение площадей этих квадратов равно:

$\frac{S_a}{S_b} = \frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{a}{b}\right)^2$

Так как по условию $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$, то отношение площадей равно:

$\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$

Ответ: $\frac{4}{25}$

192.

a) В двух подобных многоугольниках меньшие стороны 35 см и 21 см, а разность их периметров 40 см. Найдите периметр каждого многоугольника.

б) Периметр одного многоугольника составляет $\frac{11}{13}$ периметра подобного ему многоугольника. Разность двух соответственных сторон этих многоугольников равна 4 см. Найдите эти стороны.

Дано:

Два подобных многоугольника.
Меньшая сторона первого многоугольника: $a_1 = 35$ см.
Меньшая сторона второго многоугольника: $a_2 = 21$ см.
Разность периметров: $P_1 - P_2 = 40$ см (где $P_1$ - периметр многоугольника со стороной $a_1$, $P_2$ - периметр многоугольника со стороной $a_2$).

Перевод в систему СИ:
$a_1 = 35 \text{ см} = 0.35 \text{ м}$
$a_2 = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$
$P_1 - P_2 = 40 \text{ см} = 0.40 \text{ м}$
(Для данной задачи вычисления удобнее производить в сантиметрах, так как коэффициенты остаются неизменными).

Найти:

$P_1$, $P_2$

Решение:

Для подобных многоугольников отношение соответствующих сторон равно отношению их периметров. Коэффициент подобия $k$ можно найти как отношение данных сторон: $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{35}{21} = \frac{5}{3}$.
Тогда отношение периметров будет равно коэффициенту подобия: $\frac{P_1}{P_2} = k = \frac{5}{3}$.
Выразим $P_1$ через $P_2$: $P_1 = \frac{5}{3} P_2$.
Нам дана разность периметров: $P_1 - P_2 = 40$.
Подставим выражение для $P_1$ в это уравнение: $\frac{5}{3} P_2 - P_2 = 40$.
$\left(\frac{5}{3} - 1\right) P_2 = 40$.
$\left(\frac{5}{3} - \frac{3}{3}\right) P_2 = 40$.
$\frac{2}{3} P_2 = 40$.
$P_2 = 40 \cdot \frac{3}{2}$.
$P_2 = 20 \cdot 3$.
$P_2 = 60$ см.
Теперь найдем $P_1$: $P_1 = P_2 + 40$.
$P_1 = 60 + 40$.
$P_1 = 100$ см.

Ответ:
а) Периметр первого многоугольника 100 см, периметр второго многоугольника 60 см.

Дано:

Два подобных многоугольника.
Периметр одного многоугольника $P_1$ составляет $\frac{11}{13}$ периметра подобного ему многоугольника $P_2$: $P_1 = \frac{11}{13} P_2$.
Разность двух соответствующих сторон: $a_2 - a_1 = 4$ см (где $a_1$ - сторона, соответствующая $P_1$, $a_2$ - сторона, соответствующая $P_2$; так как $P_1 < P_2$, то $a_1 < a_2$).

Перевод в систему СИ:
$P_1 = \frac{11}{13} P_2$
$a_2 - a_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
(Для данной задачи вычисления удобнее производить в сантиметрах, так как коэффициенты остаются неизменными).

Найти:

$a_1$, $a_2$

Решение:

Для подобных многоугольников отношение периметров равно отношению соответствующих сторон. Коэффициент подобия $k$ равен: $k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{11}{13}$.
Тогда отношение соответствующих сторон будет: $\frac{a_1}{a_2} = k = \frac{11}{13}$.
Выразим $a_1$ через $a_2$: $a_1 = \frac{11}{13} a_2$.
Нам дана разность сторон: $a_2 - a_1 = 4$.
Подставим выражение для $a_1$ в это уравнение: $a_2 - \frac{11}{13} a_2 = 4$.
$\left(1 - \frac{11}{13}\right) a_2 = 4$.
$\left(\frac{13}{13} - \frac{11}{13}\right) a_2 = 4$.
$\frac{2}{13} a_2 = 4$.
$a_2 = 4 \cdot \frac{13}{2}$.
$a_2 = 2 \cdot 13$.
$a_2 = 26$ см.
Теперь найдем $a_1$: $a_1 = a_2 - 4$.
$a_1 = 26 - 4$.
$a_1 = 22$ см.

Ответ:
б) Меньшая сторона 22 см, большая сторона 26 см.

193. a) Делит ли разносторонний треугольник на два подобных треугольника его биссектриса?

б) Биссектриса $AL$ треугольника $ABC$ делит сторону $BC$ на отрезки $BL = 2,1$ см, $LC = 8,4$ см. Найдите отношение $AC : AB$.

в) Стороны треугольника равны 4,8 м, 1,6 м и 6 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 15,5 м.

а) Делит ли разносторонний треугольник на два подобных треугольника его биссектриса?

Биссектриса угла треугольника делит его на два меньших треугольника. Пусть биссектриса $AL$ треугольника $ABC$ делит его на $\triangle ABL$ и $\triangle ACL$.

Для того чтобы эти два треугольника были подобными ($\triangle ABL \sim \triangle ACL$), их соответствующие углы должны быть равны.

По определению биссектрисы, $\angle BAL = \angle CAL$.

Если $\triangle ABL \sim \triangle ACL$, то должны выполняться следующие условия для соответствующих углов: $\angle BAL = \angle CAL$ (уже известно), $\angle ABL = \angle ACL$ (то есть $\angle B = \angle C$), и $\angle ALB = \angle CLA$.

Так как углы $\angle ALB$ и $\angle CLA$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Если они равны, то $\angle ALB = \angle CLA = 90^\circ$. Это означает, что биссектриса $AL$ также является высотой.

Если в треугольнике биссектриса является и высотой, то такой треугольник является равнобедренным относительно вершины, из которой проведена эта биссектриса (в данном случае $AB = AC$).

По условию задачи, рассматривается разносторонний треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. Следовательно, в разностороннем треугольнике не может выполняться условие $AB = AC$, а значит, его биссектриса не может быть одновременно высотой и делить треугольник на два подобных.

Ответ: Нет

б) Биссектриса AL треугольника ABC делит сторону BC на отрезки BL = 2,1 см, LC = 8,4 см. Найдите отношение AC : AB.

Дано:

Биссектриса $AL$ треугольника $ABC$.

$BL = 2.1 \text{ см}$

$LC = 8.4 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$BL = 2.1 \text{ см} = 0.021 \text{ м}$

$LC = 8.4 \text{ см} = 0.084 \text{ м}$

Найти:

Отношение $AC : AB$

Решение:

Согласно теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Для биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ это означает:

$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$

Нам нужно найти отношение $AC : AB$. Перевернем обе части равенства:

$\frac{LC}{BL} = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения:

$\frac{AC}{AB} = \frac{8.4}{2.1}$

Выполним деление:

$\frac{AC}{AB} = 4$

Ответ: 4

в) Стороны треугольника равны 4,8 м, 1,6 м и 6 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 15,5 м.

Дано:

Стороны первого треугольника: $a_1 = 4.8 \text{ м}$, $b_1 = 1.6 \text{ м}$, $c_1 = 6 \text{ м}$.

Периметр подобного ему треугольника: $P_2 = 15.5 \text{ м}$.

Перевод в СИ:

Все величины уже даны в метрах, что является основной единицей длины в системе СИ. Перевод не требуется.

Найти:

Стороны второго треугольника: $a_2, b_2, c_2$.

Решение:

Сначала найдем периметр первого треугольника $P_1$:

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 4.8 + 1.6 + 6 = 12.4 \text{ м}$

Для подобных треугольников отношение периметров равно коэффициенту подобия $k$:

$k = \frac{P_2}{P_1}$

Подставим известные значения периметров:

$k = \frac{15.5}{12.4}$

Вычислим коэффициент подобия:

$k = 1.25$

Теперь, используя коэффициент подобия, найдем стороны второго треугольника. Каждая сторона второго треугольника равна соответствующей стороне первого треугольника, умноженной на коэффициент подобия:

$a_2 = k \cdot a_1 = 1.25 \cdot 4.8 = 6 \text{ м}$

$b_2 = k \cdot b_1 = 1.25 \cdot 1.6 = 2 \text{ м}$

$c_2 = k \cdot c_1 = 1.25 \cdot 6 = 7.5 \text{ м}$

Проверим сумму сторон второго треугольника (его периметр):

$P_2 = 6 + 2 + 7.5 = 15.5 \text{ м}$. Это соответствует заданному периметру.

Ответ: Стороны подобного треугольника равны 6 м, 2 м и 7.5 м.

194. Отношение соответственных сторон двух подобных многоугольников равно: а) 4; б) 0,2. Найдите площадь первого из них, если площадь второго равна $8\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Дано:

Многоугольник 1 и Многоугольник 2 - подобные многоугольники.

Отношение соответствующих сторон первого многоугольника ко второму: $k$.

а) $k = 4$

б) $k = 0.2$

Площадь второго многоугольника: $S_2 = 8\sqrt{3}\text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$S_2 = 8\sqrt{3}\text{ см}^2 = 8\sqrt{3} \cdot (10^{-2}\text{ м})^2 = 8\sqrt{3} \cdot 10^{-4}\text{ м}^2$

Найти:

$S_1$ (площадь первого многоугольника)

Решение:

Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия (отношения соответствующих сторон). Если $S_1$ - площадь первого многоугольника, $S_2$ - площадь второго многоугольника, а $k$ - отношение соответствующих сторон первого многоугольника ко второму, то их площади связаны соотношением:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2$

Из этого соотношения выразим площадь первого многоугольника:

$S_1 = k^2 \cdot S_2$

а)

В этом случае отношение соответствующих сторон $k = 4$.

Подставим известные значения в формулу для $S_1$:

$S_1 = (4)^2 \cdot 8\sqrt{3}\text{ см}^2$

$S_1 = 16 \cdot 8\sqrt{3}\text{ см}^2$

$S_1 = 128\sqrt{3}\text{ см}^2$

Ответ:

$S_1 = 128\sqrt{3}\text{ см}^2$

б)

В этом случае отношение соответствующих сторон $k = 0.2$.

Запишем $0.2$ как обыкновенную дробь: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Подставим известные значения в формулу для $S_1$:

$S_1 = (0.2)^2 \cdot 8\sqrt{3}\text{ см}^2$

$S_1 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot 8\sqrt{3}\text{ см}^2$

$S_1 = \frac{1}{25} \cdot 8\sqrt{3}\text{ см}^2$

$S_1 = \frac{8\sqrt{3}}{25}\text{ см}^2$

Ответ:

$S_1 = \frac{8\sqrt{3}}{25}\text{ см}^2$

195. Отношение площадей двух подобных многоугольников равно:

а) 36;

б) 0,09.

Чему равно отношение соответственных сторон этих многоугольников?

Известно, что отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату отношения их соответственных сторон. Если $ S_1 $ и $ S_2 $ - площади подобных многоугольников, а $ a_1 $ и $ a_2 $ - длины их соответственных сторон, то справедливо соотношение: $ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 $. Обозначим отношение соответственных сторон как $ k = \frac{a_1}{a_2} $. Тогда $ \frac{S_1}{S_2} = k^2 $. Для нахождения отношения соответственных сторон $ k $, необходимо взять квадратный корень из отношения площадей: $ k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} $.

а) Дано:
Отношение площадей двух подобных многоугольников: $ \frac{S_1}{S_2} = 36 $
Перевод в СИ:
Данные величины являются безразмерными отношениями, поэтому перевод в СИ не требуется.
Найти:
Отношение соответственных сторон: $ k = \frac{a_1}{a_2} $
Решение:
Используем формулу для отношения сторон подобных многоугольников: $ k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} $
Подставляем заданное значение отношения площадей: $ k = \sqrt{36} $
Вычисляем квадратный корень: $ k = 6 $

Ответ: 6

б) Дано:
Отношение площадей двух подобных многоугольников: $ \frac{S_1}{S_2} = 0,09 $
Перевод в СИ:
Данные величины являются безразмерными отношениями, поэтому перевод в СИ не требуется.
Найти:
Отношение соответственных сторон: $ k = \frac{a_1}{a_2} $
Решение:
Используем формулу для отношения сторон подобных многоугольников: $ k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} $
Подставляем заданное значение отношения площадей: $ k = \sqrt{0,09} $
Для удобства вычисления переведем десятичную дробь в обыкновенную: $ k = \sqrt{\frac{9}{100}} $
Вычисляем квадратный корень из числителя и знаменателя: $ k = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}} $
$ k = \frac{3}{10} $
Представим результат в виде десятичной дроби: $ k = 0,3 $

Ответ: 0,3

196. a) Найтите периметр равностороннего треугольника, площадь которого вдвое больше, чем площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 10 см.

б) Найтите площадь и периметр верхней части (выделена синим цветом) боковой грани Дворца Мира и Согласия (рисунок 131), если грань является равнобедренным треугольником с основанием 62 м и боковой стороной $31\sqrt{6}$ м.

Рисунок 131

а) Найдите периметр равностороннего треугольника, площадь которого вдвое больше, чем площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 10 см.

Дано:

Сторона первого равностороннего треугольника: $a_1 = 10 \text{ см}$.

Площадь второго равностороннего треугольника $S_2$ в 2 раза больше площади первого равностороннего треугольника $S_1$: $S_2 = 2S_1$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

Периметр второго равностороннего треугольника $P_2$.

Решение:

1. Найдем площадь первого равностороннего треугольника $S_1$.

Формула площади равностороннего треугольника со стороной $a$ есть $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (10 \text{ см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 \text{ см}^2 = 25\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь второго равностороннего треугольника $S_2$.

$S_2 = 2S_1 = 2 \cdot 25\sqrt{3} \text{ см}^2 = 50\sqrt{3} \text{ см}^2$.

3. Найдем сторону $a_2$ второго равностороннего треугольника.

$S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}a_2^2$

$50\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}a_2^2$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$50 = \frac{1}{4}a_2^2$

$a_2^2 = 50 \cdot 4 = 200$

$a_2 = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

4. Найдем периметр второго равностороннего треугольника $P_2$.

Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ есть $P = 3a$.

$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 10\sqrt{2} \text{ см} = 30\sqrt{2}$ см.

Ответ: $30\sqrt{2}$ см.

б) Найдите площадь и периметр верхней части (выделена синим цветом) боковой грани Дворца Мира и Согласия (рисунок 131), если грань является равнобедренным треугольником с основанием 62 м и боковой стороной $31\sqrt{6}$ м.

Примечание: Поскольку на предоставленном изображении отсутствуют выделенные синим цветом области, и не дано никаких дополнительных параметров для определения "верхней части", задача решается для всей боковой грани, являющейся равнобедренным треугольником с указанными размерами.

Дано:

Треугольник равнобедренный.

Основание $b = 62 \text{ м}$.

Боковая сторона $c = 31\sqrt{6} \text{ м}$.

Перевод в СИ:

Все данные уже в СИ.

Найти:

Площадь $S$ и периметр $P$ равнобедренного треугольника.

Решение:

1. Найдем периметр $P$ равнобедренного треугольника.

Формула периметра равнобедренного треугольника: $P = b + 2c$.

$P = 62 \text{ м} + 2 \cdot 31\sqrt{6} \text{ м} = 62 + 62\sqrt{6} \text{ м}$.

$P = 62(1 + \sqrt{6})$ м.

2. Найдем высоту $h$ равнобедренного треугольника, опущенную на основание.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, половиной основания и высотой.

Катеты: $h$ и $b/2$. Гипотенуза: $c$.

$b/2 = 62 / 2 = 31 \text{ м}$.

По теореме Пифагора: $h^2 + (b/2)^2 = c^2$.

$h^2 = c^2 - (b/2)^2$

$h^2 = (31\sqrt{6})^2 - (31)^2$

$h^2 = 31^2 \cdot (\sqrt{6})^2 - 31^2 \cdot 1$

$h^2 = 31^2 \cdot 6 - 31^2$

$h^2 = 31^2 (6 - 1)$

$h^2 = 31^2 \cdot 5$

$h = \sqrt{31^2 \cdot 5} = 31\sqrt{5}$ м.

3. Найдем площадь $S$ равнобедренного треугольника.

Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

$S = \frac{1}{2} \cdot 62 \text{ м} \cdot 31\sqrt{5} \text{ м}$

$S = 31 \cdot 31\sqrt{5} \text{ м}^2$

$S = 961\sqrt{5}$ м$^2$.

Ответ: Периметр $62(1 + \sqrt{6})$ м, Площадь $961\sqrt{5}$ м$^2$.