Страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

187. По данным на рисунке 122

найдите $DF$, если:

a) $AF = 6$ м, $FB = 10$ м, $AC = 12$ м;

б) $FK = 5$ дм, $PK = 4$ дм.

Рисунок 122

а)

Дано:

треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$

$F \in AB$, $FD \perp AC$

$AF = 6$ м

$FB = 10$ м

$AC = 12$ м

Перевод в СИ:

Все величины даны в метрах (м), что соответствует системе СИ. Перевод не требуется.

Найти:

$DF$

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$).

2. По условию, $FD \perp AC$. Так как $BC \perp AC$ (из определения прямоугольного треугольника), то $FD \parallel BC$.

3. Поскольку $FD \parallel BC$, то треугольник $ADF$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $A$ — общий, $\angle ADF = \angle ACB = 90^\circ$).

4. Из подобия треугольников следует соотношение соответствующих сторон:

$\frac{AF}{AB} = \frac{DF}{BC}$

5. Найдем длину стороны $AB$:

$AB = AF + FB = 6 \text{ м} + 10 \text{ м} = 16 \text{ м}$.

6. Найдем длину стороны $BC$ из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$BC^2 = AB^2 - AC^2$

$BC^2 = (16 \text{ м})^2 - (12 \text{ м})^2 = 256 \text{ м}^2 - 144 \text{ м}^2 = 112 \text{ м}^2$

$BC = \sqrt{112} \text{ м} = \sqrt{16 \cdot 7} \text{ м} = 4\sqrt{7} \text{ м}$.

7. Теперь подставим известные значения в соотношение подобия:

$\frac{6}{16} = \frac{DF}{4\sqrt{7}}$

$DF = \frac{6 \cdot 4\sqrt{7}}{16} = \frac{24\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$ м.

Ответ: $\frac{3\sqrt{7}}{2}$ м.

б)

Дано:

линии $FK$ и $PD$ пересекаются в точке $O$

На рисунке: $\angle FPK = 90^\circ$ (прямой угол в вершине $P$ треугольника $FPK$)

На рисунке: $O$ — середина $FK$ ($FO = OK$)

На рисунке: $DO \perp FK$, т.е. $\angle DOK = 90^\circ$

$FK = 5$ дм

$PK = 4$ дм

Перевод в СИ:

Не требуется, так как все расчеты могут быть выполнены в дециметрах, а результат не требует специфического представления в системе СИ. ($FK = 0.5$ м, $PK = 0.4$ м).

Найти:

$DF$

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $FPK$. По условию (обозначение на рисунке), $\angle FPK = 90^\circ$, то есть это прямоугольный треугольник.

2. По теореме Пифагора для $\triangle FPK$ найдем длину стороны $FP$:

$FK^2 = FP^2 + PK^2$

$(5 \text{ дм})^2 = FP^2 + (4 \text{ дм})^2$

$25 \text{ дм}^2 = FP^2 + 16 \text{ дм}^2$

$FP^2 = 25 - 16 = 9 \text{ дм}^2$

$FP = \sqrt{9} = 3$ дм.

3. По условию, точка $O$ является серединой отрезка $FK$, так как $FO = OK$.

$FO = OK = \frac{FK}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ дм.

4. Рассмотрим треугольники $DOK$ и $FPK$.

Угол $K$ является общим для обоих треугольников.

$\angle DOK = 90^\circ$ (по условию, $DO \perp FK$)

$\angle FPK = 90^\circ$ (по условию)

Следовательно, треугольник $DOK$ подобен треугольнику $FPK$ по двум углам (АА-признак подобия).

5. Из подобия треугольников $DOK \sim FPK$ следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{DO}{FP} = \frac{OK}{PK} = \frac{DK}{FK}$

6. Подставим известные значения в отношение сторон:

$\frac{DO}{3} = \frac{2.5}{4}$

7. Найдем $DO$:

$DO = 3 \cdot \frac{2.5}{4} = \frac{7.5}{4} = \frac{15}{8}$ дм.

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOF$. Так как $DO \perp FK$, то $\angle DOF = 90^\circ$.

По теореме Пифагора для $\triangle DOF$ найдем $DF$:

$DF^2 = DO^2 + FO^2$

$DF^2 = \left(\frac{15}{8}\right)^2 + (2.5)^2$

$DF^2 = \frac{225}{64} + \left(\frac{5}{2}\right)^2$

$DF^2 = \frac{225}{64} + \frac{25}{4}$

Для сложения приведем дроби к общему знаменателю (64):

$DF^2 = \frac{225}{64} + \frac{25 \cdot 16}{4 \cdot 16}$

$DF^2 = \frac{225}{64} + \frac{400}{64}$

$DF^2 = \frac{625}{64}$

$DF = \sqrt{\frac{625}{64}} = \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{64}} = \frac{25}{8}$ дм.

Ответ: $\frac{25}{8}$ дм.

188. Постройте треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, имеющие следующие координаты вершин:

a) $A(3; 2)$, $B(1; 3)$, $C(3; 6)$, $A_1(3; -2)$, $B_1(1; -3)$, $C_1(3; -6)$;

б) $A(1; -3)$, $B(5; -1)$, $C(1; 5)$, $A_1(-2; 1)$, $B_1(-4; 2)$, $C_1(-2; 5)$. Подобны ли эти треугольники? Ответ объясните.

Дано:

Координаты вершин треугольников.

Найти:

Построить треугольники. Определить, подобны ли они, и объяснить ответ.

Решение

а)

Дано:

Треугольник ABC: $A(3; 2)$, $B(1; 3)$, $C(3; 6)$

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1(3; -2)$, $B_1(1; -3)$, $C_1(3; -6)$

Найти:

1. Построить треугольники ABC и $A_1B_1C_1$.

2. Подобны ли треугольники ABC и $A_1B_1C_1$? Объяснить.

Решение:

1. Для построения треугольников на координатной плоскости необходимо отметить заданные вершины и соединить их отрезками. Для треугольника ABC это точки $A(3; 2)$, $B(1; 3)$, $C(3; 6)$. Для треугольника $A_1B_1C_1$ это точки $A_1(3; -2)$, $B_1(1; -3)$, $C_1(3; -6)$.

2. Для определения подобия треугольников найдем длины их сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длины сторон треугольника ABC:

$AB = \sqrt{(1-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$CA = \sqrt{(3-3)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$

Длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = \sqrt{(1-3)^2 + (-3-(-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$B_1C_1 = \sqrt{(3-1)^2 + (-6-(-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$C_1A_1 = \sqrt{(3-3)^2 + (-2-(-6))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$

Сравним отношения соответствующих сторон:

$AB / A_1B_1 = \sqrt{5} / \sqrt{5} = 1$

$BC / B_1C_1 = \sqrt{13} / \sqrt{13} = 1$

$CA / C_1A_1 = 4 / 4 = 1$

Так как отношения всех соответствующих сторон равны 1, треугольники подобны (и даже равны). Это означает, что один треугольник является результатом преобразования другого (в данном случае, симметрии относительно оси Ox).

Ответ: Треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ подобны.

б)

Дано:

Треугольник ABC: $A(1; -3)$, $B(5; -1)$, $C(1; 5)$

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1(-2; 1)$, $B_1(-4; 2)$, $C_1(-2; 5)$

Найти:

1. Построить треугольники ABC и $A_1B_1C_1$.

2. Подобны ли треугольники ABC и $A_1B_1C_1$? Объяснить.

Решение:

1. Для построения треугольников на координатной плоскости необходимо отметить заданные вершины и соединить их отрезками. Для треугольника ABC это точки $A(1; -3)$, $B(5; -1)$, $C(1; 5)$. Для треугольника $A_1B_1C_1$ это точки $A_1(-2; 1)$, $B_1(-4; 2)$, $C_1(-2; 5)$.

2. Для определения подобия треугольников найдем длины их сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длины сторон треугольника ABC:

$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-(-3))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(1-5)^2 + (5-(-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

$CA = \sqrt{(1-1)^2 + (5-(-3))^2} = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{0 + 64} = \sqrt{64} = 8$

Длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = \sqrt{(-4-(-2))^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$B_1C_1 = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (5-2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$C_1A_1 = \sqrt{(-2-(-2))^2 + (1-5)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$

Сравним отношения соответствующих сторон (предполагаем, что стороны соответствуют друг другу по длине: наименьшая к наименьшей, средняя к средней, наибольшая к наибольшей):

$AB / A_1B_1 = (2\sqrt{5}) / \sqrt{5} = 2$

$BC / B_1C_1 = (2\sqrt{13}) / \sqrt{13} = 2$

$CA / C_1A_1 = 8 / 4 = 2$

Так как отношения всех соответствующих сторон равны 2, треугольники подобны по признаку подобия по трем сторонам (отношение сторон $k=2$).

Ответ: Треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ подобны.

189. В подобных треугольниках соответственные стороны $a$ и $a_1$ и высоты, проведенные к этим сторонам, $h$ и $h_1$ соответственно. Известно, что $h + h_1 = 3,6$ см, $a_1 = 3,2$ см и $\frac{a_1}{a} = 2$. Найдите площади этих треугольников.

Дано:

Подобные треугольники.

Стороны: $a$, $a_1$

Высоты, проведенные к этим сторонам: $h$, $h_1$

$h + h_1 = 3,6 \text{ см}$

$a_1 = 3,2 \text{ см}$

$\frac{a_1}{a} = 2$

Перевод в СИ:

$h + h_1 = 3,6 \text{ см} = 0,036 \text{ м}$

$a_1 = 3,2 \text{ см} = 0,032 \text{ м}$

Найти:

Площадь первого треугольника $S$

Площадь второго треугольника $S_1$

Решение:

Поскольку треугольники подобны, отношение их соответственных сторон равно отношению их соответственных высот. Коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{a_1}{a} = \frac{h_1}{h}$

Нам дано, что $\frac{a_1}{a} = 2$. Следовательно, коэффициент подобия $k = 2$.

Из равенства $\frac{h_1}{h} = k$ получаем $\frac{h_1}{h} = 2$, откуда $h_1 = 2h$.

Нам также дано, что $h + h_1 = 3,6 \text{ см}$. Подставим выражение для $h_1$ в это уравнение:

$h + 2h = 3,6 \text{ см}$

$3h = 3,6 \text{ см}$

$h = \frac{3,6}{3} \text{ см}$

$h = 1,2 \text{ см}$

Теперь найдем $h_1$:

$h_1 = 2h = 2 \times 1,2 \text{ см}$

$h_1 = 2,4 \text{ см}$

Теперь найдем сторону $a$. Из отношения $\frac{a_1}{a} = 2$ и известного значения $a_1 = 3,2 \text{ см}$:

$\frac{3,2 \text{ см}}{a} = 2$

$a = \frac{3,2 \text{ см}}{2}$

$a = 1,6 \text{ см}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Для первого треугольника с основанием $a$ и высотой $h$:

$S = \frac{1}{2} a h$

$S = \frac{1}{2} \times 1,6 \text{ см} \times 1,2 \text{ см}$

$S = 0,8 \text{ см} \times 1,2 \text{ см}$

$S = 0,96 \text{ см}^2$

Для второго треугольника с основанием $a_1$ и высотой $h_1$:

$S_1 = \frac{1}{2} a_1 h_1$

$S_1 = \frac{1}{2} \times 3,2 \text{ см} \times 2,4 \text{ см}$

$S_1 = 1,6 \text{ см} \times 2,4 \text{ см}$

$S_1 = 3,84 \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь первого треугольника $S = 0,96 \text{ см}^2$. Площадь второго треугольника $S_1 = 3,84 \text{ см}^2$.

190. Из вершины $C$ прямого угла $\triangle ABC$ проведена высота $CD$ и

в треугольники $ACD$ и $BCD$ вписаны окружности, радиусы ко-

торых равны соответственно $r_1$ и $r_2$. Найдите $r_1$, если $r_2 = 2$ см,

$BD = 5$ см, $CD = 12$ см.

Дано:

$\Delta ABC$ — прямоугольный треугольник, $\angle C = 90^\circ$.$CD$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$.$r_1$ — радиус окружности, вписанной в $\Delta ACD$.$r_2$ — радиус окружности, вписанной в $\Delta BCD$.$r_2 = 2$ см.$BD = 5$ см.$CD = 12$ см.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах, что является общепринятой единицей измерения длины в подобных геометрических задачах. Перевод в метры не требуется, так как все величины однородны. Результат также будет получен в сантиметрах.

Найти:

$r_1$

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta BCD$. Его катеты $BD = 5$ см и $CD = 12$ см. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $BC$: $BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Для $\Delta BCD$: $r_2 = \frac{BD + CD - BC}{2} = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Это значение совпадает с данным в условии, что подтверждает правильность расчетов сторон $\Delta BCD$.
Треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta BCD$ подобны. Это следует из того, что оба они прямоугольные ($\angle ADC = \angle CDB = 90^\circ$), и $\angle A = 90^\circ - \angle B$, а также $\angle BCD = 90^\circ - \angle B$. Следовательно, $\angle A = \angle BCD$. Таким образом, $\Delta ACD \sim \Delta BCD$ по двум углам.
Отношение радиусов вписанных окружностей в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия $k$ между $\Delta ACD$ и $\Delta BCD$ можно найти как отношение соответствующих сторон. Сторона $CD$ в $\Delta ACD$ соответствует стороне $BD$ в $\Delta BCD$, так как они лежат напротив равных углов ($\angle A$ и $\angle BCD$ соответственно). Следовательно, $k = \frac{CD}{BD}$.
$k = \frac{12}{5}$.
Так как $\frac{r_1}{r_2} = k$, то $r_1 = k \cdot r_2$. $r_1 = \frac{12}{5} \cdot 2 = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Ответ:

$r_1 = 4.8$ см.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте равнобедренную трапецию. Проведите прямую параллельную основаниям, которая делит высоту трапеции в отношении $2:1$. Являются ли две полученные при этом трапеции подобными? Чему равно отношение их боковых сторон?

Дано

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Прямая $EF$ параллельна основаниям $AD$ и $BC$ ($EF \parallel AD \parallel BC$). Точка $E$ лежит на боковой стороне $AB$, точка $F$ — на боковой стороне $CD$.

Прямая $EF$ делит высоту трапеции $h$ в отношении $2:1$. Пусть $h_1$ — высота верхней трапеции $AEFD$ (отрезок высоты от $AD$ до $EF$), и $h_2$ — высота нижней трапеции $BCFE$ (отрезок высоты от $EF$ до $BC$). Тогда $h_1 : h_2 = 2 : 1$.

Найти:

1. Являются ли две полученные при этом трапеции ($AEFD$ и $BCFE$) подобными?

2. Чему равно отношение их боковых сторон?

Решение

Являются ли две полученные при этом трапеции подобными?

Для того чтобы две трапеции были подобными, необходимо, чтобы их соответствующие углы были равны, а отношения соответствующих сторон — пропорциональны.

Пусть в исходной равнобедренной трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны $\angle A = \angle D = \alpha$, а углы при основании $BC$ равны $\angle B = \angle C = \beta$. Поскольку $AD \parallel BC$, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Прямая $EF$, параллельная основаниям, делит исходную трапецию на две новые трапеции: $AEFD$ и $BCFE$.

Рассмотрим углы трапеции $AEFD$ (с основаниями $AD$ и $EF$):

• Углы при нижнем основании $AD$: $\angle A = \alpha$ и $\angle D = \alpha$.

• Углы при верхнем основании $EF$: $\angle AEF$ и $\angle DFE$. Так как $EF \parallel AD$, эти углы являются односторонними с углами $\angle A$ и $\angle D$ соответственно. Следовательно, $\angle AEF = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \alpha = \beta$ и $\angle DFE = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - \alpha = \beta$.

Таким образом, набор углов трапеции $AEFD$ (при движении по периметру или по парам соответствующих углов) равен $(\alpha, \alpha, \beta, \beta)$.

Рассмотрим углы трапеции $BCFE$ (с основаниями $EF$ и $BC$):

• Углы при нижнем основании $EF$: $\angle BEF$ и $\angle CFE$. Так как $EF \parallel BC$, эти углы являются односторонними с углами $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. Следовательно, $\angle BEF = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - \beta = \alpha$ и $\angle CFE = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - \beta = \alpha$.

• Углы при верхнем основании $BC$: $\angle EBC = \angle B = \beta$ и $\angle FCD = \angle C = \beta$.

Таким образом, набор углов трапеции $BCFE$ (при движении по периметру или по парам соответствующих углов) равен $(\alpha, \alpha, \beta, \beta)$, но при этом углы $\beta$ расположены у нижнего основания $BC$, а углы $\alpha$ — у верхнего основания $EF$. То есть, если мы хотим сопоставить углы $AEFD$ и $BCFE$ для подобия, мы должны сравнивать $\angle A$ с $\angle BEF$ (оба $\alpha$) и $\angle AEF$ с $\angle EBC$ (оба $\beta$).

Для того чтобы эти трапеции были подобны, их углы должны быть равны в соответствующем порядке. Трапеция $AEFD$ имеет углы при одном основании $\alpha$ и при другом $\beta$. Трапеция $BCFE$ имеет углы при одном основании $\beta$ и при другом $\alpha$. Эти наборы углов будут совпадать (трапеции будут подобны) только в том случае, если $\alpha = \beta$.

Равенство $\alpha = \beta$ в равнобедренной трапеции возможно только тогда, когда $2\alpha = 180^\circ$, то есть $\alpha = 90^\circ$. В этом случае исходная трапеция является прямоугольником. Если исходная трапеция не является прямоугольником (т.е. $\alpha \neq 90^\circ$), то $\alpha \neq \beta$.

Следовательно, в общем случае, углы двух полученных трапеций не совпадают, и они не являются подобными.

Ответ: Нет, две полученные трапеции не являются подобными, за исключением частного случая, когда исходная трапеция является прямоугольником (то есть все углы равны $90^\circ$).

Чему равно отношение их боковых сторон?

Пусть боковая сторона исходной равнобедренной трапеции $ABCD$ равна $L = AB = CD$.

Прямая $EF$ параллельна основаниям трапеции. Известно, что прямая, параллельная основаниям трапеции, делит ее боковые стороны в том же отношении, в котором она делит высоту трапеции.

В условии задачи сказано, что высота трапеции делится в отношении $2:1$. Мы приняли, что $h_1 : h_2 = 2 : 1$, где $h_1$ — высота верхней трапеции $AEFD$ (от $AD$ до $EF$), а $h_2$ — высота нижней трапеции $BCFE$ (от $EF$ до $BC$).

Боковая сторона верхней трапеции $AEFD$ — это отрезок $AE$.

Боковая сторона нижней трапеции $BCFE$ — это отрезок $EB$.

Поскольку прямая $EF$ делит высоту в отношении $h_1 : h_2 = 2 : 1$, то она делит и боковые стороны в том же отношении.

Таким образом, отношение отрезков боковой стороны $AB$ будет $AE : EB = h_1 : h_2$.

Следовательно, $AE : EB = 2 : 1$.

Поэтому отношение боковых сторон полученных трапеций (боковой стороны $AE$ верхней трапеции к боковой стороне $EB$ нижней трапеции) равно $2:1$.

Ответ: Отношение их боковых сторон равно $2:1$.