Номер 187, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

187. По данным на рисунке 122

найдите $DF$, если:

a) $AF = 6$ м, $FB = 10$ м, $AC = 12$ м;

б) $FK = 5$ дм, $PK = 4$ дм.

Рисунок 122

а)

Дано:

треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$

$F \in AB$, $FD \perp AC$

$AF = 6$ м

$FB = 10$ м

$AC = 12$ м

Перевод в СИ:

Все величины даны в метрах (м), что соответствует системе СИ. Перевод не требуется.

Найти:

$DF$

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$).

2. По условию, $FD \perp AC$. Так как $BC \perp AC$ (из определения прямоугольного треугольника), то $FD \parallel BC$.

3. Поскольку $FD \parallel BC$, то треугольник $ADF$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $A$ — общий, $\angle ADF = \angle ACB = 90^\circ$).

4. Из подобия треугольников следует соотношение соответствующих сторон:

$\frac{AF}{AB} = \frac{DF}{BC}$

5. Найдем длину стороны $AB$:

$AB = AF + FB = 6 \text{ м} + 10 \text{ м} = 16 \text{ м}$.

6. Найдем длину стороны $BC$ из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$BC^2 = AB^2 - AC^2$

$BC^2 = (16 \text{ м})^2 - (12 \text{ м})^2 = 256 \text{ м}^2 - 144 \text{ м}^2 = 112 \text{ м}^2$

$BC = \sqrt{112} \text{ м} = \sqrt{16 \cdot 7} \text{ м} = 4\sqrt{7} \text{ м}$.

7. Теперь подставим известные значения в соотношение подобия:

$\frac{6}{16} = \frac{DF}{4\sqrt{7}}$

$DF = \frac{6 \cdot 4\sqrt{7}}{16} = \frac{24\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$ м.

Ответ: $\frac{3\sqrt{7}}{2}$ м.

б)

Дано:

линии $FK$ и $PD$ пересекаются в точке $O$

На рисунке: $\angle FPK = 90^\circ$ (прямой угол в вершине $P$ треугольника $FPK$)

На рисунке: $O$ — середина $FK$ ($FO = OK$)

На рисунке: $DO \perp FK$, т.е. $\angle DOK = 90^\circ$

$FK = 5$ дм

$PK = 4$ дм

Перевод в СИ:

Не требуется, так как все расчеты могут быть выполнены в дециметрах, а результат не требует специфического представления в системе СИ. ($FK = 0.5$ м, $PK = 0.4$ м).

Найти:

$DF$

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $FPK$. По условию (обозначение на рисунке), $\angle FPK = 90^\circ$, то есть это прямоугольный треугольник.

2. По теореме Пифагора для $\triangle FPK$ найдем длину стороны $FP$:

$FK^2 = FP^2 + PK^2$

$(5 \text{ дм})^2 = FP^2 + (4 \text{ дм})^2$

$25 \text{ дм}^2 = FP^2 + 16 \text{ дм}^2$

$FP^2 = 25 - 16 = 9 \text{ дм}^2$

$FP = \sqrt{9} = 3$ дм.

3. По условию, точка $O$ является серединой отрезка $FK$, так как $FO = OK$.

$FO = OK = \frac{FK}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ дм.

4. Рассмотрим треугольники $DOK$ и $FPK$.

Угол $K$ является общим для обоих треугольников.

$\angle DOK = 90^\circ$ (по условию, $DO \perp FK$)

$\angle FPK = 90^\circ$ (по условию)

Следовательно, треугольник $DOK$ подобен треугольнику $FPK$ по двум углам (АА-признак подобия).

5. Из подобия треугольников $DOK \sim FPK$ следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{DO}{FP} = \frac{OK}{PK} = \frac{DK}{FK}$

6. Подставим известные значения в отношение сторон:

$\frac{DO}{3} = \frac{2.5}{4}$

7. Найдем $DO$:

$DO = 3 \cdot \frac{2.5}{4} = \frac{7.5}{4} = \frac{15}{8}$ дм.

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOF$. Так как $DO \perp FK$, то $\angle DOF = 90^\circ$.

По теореме Пифагора для $\triangle DOF$ найдем $DF$:

$DF^2 = DO^2 + FO^2$

$DF^2 = \left(\frac{15}{8}\right)^2 + (2.5)^2$

$DF^2 = \frac{225}{64} + \left(\frac{5}{2}\right)^2$

$DF^2 = \frac{225}{64} + \frac{25}{4}$

Для сложения приведем дроби к общему знаменателю (64):

$DF^2 = \frac{225}{64} + \frac{25 \cdot 16}{4 \cdot 16}$

$DF^2 = \frac{225}{64} + \frac{400}{64}$

$DF^2 = \frac{625}{64}$

$DF = \sqrt{\frac{625}{64}} = \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{64}} = \frac{25}{8}$ дм.

Ответ: $\frac{25}{8}$ дм.