Номер 182, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

182. В $ \Delta ABC $ со сторонами $ AB = 15 \text{ см}$, $ AC = 10 \text{ см}$ вписан ромб $ AMNK $ так, что точки $ M$, $ N $ и $ K $ принадлежат сторонам $ AB$, $ BC $ и $ AC $ соответственно. Найдите сторону ромба.

Дано

$\triangle ABC$
$AB = 15 \text{ см}$
$AC = 10 \text{ см}$
Ромб $AMNK$ вписан в $\triangle ABC$.
Точки $M, N, K$ принадлежат сторонам $AB, BC, AC$ соответственно.

Перевод в СИ

$AB = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$AC = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти

Сторону ромба $AMNK$.

Решение

Пусть сторона ромба $AMNK$ равна $x$.
Так как $AMNK$ – ромб, то все его стороны равны: $AM = MN = NK = KA = x$.
По условию, точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ – на стороне $AC$.
Следовательно, $AM = x$ и $AK = x$.
Поскольку $AMNK$ является ромбом, его стороны $MN$ и $AC$ параллельны, так как $MN \parallel AK$.
Это означает, что $\triangle BMN$ подобен $\triangle BAC$ (по двум углам: $\angle B$ общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при $MN \parallel AC$ и секущей $AB$).
Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
$ \frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} $
Мы знаем, что $AM = x$, а $AB = 15 \text{ см}$. Тогда $BM = AB - AM = 15 - x$.
Также $MN = x$ (сторона ромба) и $AC = 10 \text{ см}$.
Подставим эти значения в пропорцию:
$ \frac{15 - x}{15} = \frac{x}{10} $
Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$ 10 \cdot (15 - x) = 15 \cdot x $
$ 150 - 10x = 15x $
Перенесем члены с $x$ в одну сторону:
$ 150 = 15x + 10x $
$ 150 = 25x $
Разделим обе части на $25$:
$ x = \frac{150}{25} $
$ x = 6 $
Таким образом, сторона ромба равна $6$ см.

Ответ:

Сторона ромба равна $6$ см.