Номер 178, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

178. a) Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 24 см, а $AO : CO = 3 : 1$.

б) Диагональ $AC$ трапеции $ABCD$, равная 6 м, делит ее на два подобных треугольника. Найдите меньшее основание трапеции $BC$, если ее большее основание равно 12 м.

а)

Дано:

трапеция $ABCD$, $AD \parallel BC$

диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$

средняя линия $m = 24$ см

отношение $AO : CO = 3 : 1$

Перевод в СИ:

$m = 24$ см $= 0.24$ м

Найти:

основания $AD$ и $BC$

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

Так как $AD \parallel BC$, то $\angle DAO = \angle BCO$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $AC$) и $\angle ADO = \angle CBO$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $BD$).

Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ являются вертикальными, следовательно, они равны.

Таким образом, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны по трем углам (по первому признаку подобия).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$

По условию задачи, $AO : CO = 3 : 1$, следовательно, коэффициент подобия равен $k = 3$.

Значит, $\frac{AD}{BC} = 3$, откуда $AD = 3 \cdot BC$.

Формула для средней линии трапеции: $m = \frac{AD + BC}{2}$.

Подставим известные значения в формулу средней линии:

$24 = \frac{AD + BC}{2}$

$AD + BC = 24 \cdot 2$

$AD + BC = 48$

Теперь подставим выражение для $AD$ из отношения подобия ($AD = 3 \cdot BC$) в уравнение средней линии:

$3 \cdot BC + BC = 48$

$4 \cdot BC = 48$

$BC = \frac{48}{4}$

$BC = 12$ см

Теперь найдем $AD$:

$AD = 3 \cdot BC = 3 \cdot 12 = 36$ см

Ответ: $AD = 36$ см, $BC = 12$ см.

б)

Дано:

трапеция $ABCD$, $AD \parallel BC$

диагональ $AC = 6$ м

диагональ $AC$ делит трапецию на два подобных треугольника

большее основание $AD = 12$ м

Найти:

меньшее основание $BC$

Решение:

Если диагональ трапеции делит ее на два подобных треугольника, то эти треугольники, как правило, $\triangle ABC$ и $\triangle DCA$.

Так как $AD \parallel BC$, то $\angle BAC = \angle ACD$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $AC$).

Также $\angle BCA = \angle CAD$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $AC$).

Для того чтобы $\triangle ABC$ был подобен $\triangle DCA$, должно выполняться соответствие вершин:

$\angle BAC \leftrightarrow \angle ACD$

$\angle BCA \leftrightarrow \angle CAD$

$\angle ABC \leftrightarrow \angle CDA$

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle DCA$ следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AB}{DC} = \frac{BC}{CA} = \frac{AC}{DA}$

Мы знаем длины $AC$ и $DA$. Нам нужно найти $BC$. Используем часть отношения, содержащую эти стороны:

$\frac{BC}{CA} = \frac{AC}{DA}$

Подставим известные значения:

$\frac{BC}{6} = \frac{6}{12}$

Упростим правую часть:

$\frac{BC}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь выразим $BC$:

$BC = 6 \cdot \frac{1}{2}$

$BC = 3$ м

Убеждаемся, что $BC = 3$ м является меньшим основанием по сравнению с $AD = 12$ м.

Ответ: $BC = 3$ м.