Номер 174, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

174. Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle C = \angle C_1$, $AB = 5$ см, $BC = 7$ см, $A_1B_1 = 10$ см, $A_1C_1 = 8$ см (рисунок 120). Найдите остальные стороны треугольников.

Рисунок 120

Дано:

Треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $

$ \angle A = \angle A_1 $

$ \angle C = \angle C_1 $

$ AB = 5 \text{ см} $

$ BC = 7 \text{ см} $

$ A_1B_1 = 10 \text{ см} $

$ A_1C_1 = 8 \text{ см} $

Перевод в СИ:

$ AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м} $

$ BC = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м} $

$ A_1B_1 = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м} $

$ A_1C_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м} $

Найти:

Сторону $ AC $ треугольника $ \triangle ABC $

Сторону $ B_1C_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $

Решение:

По условию, $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle C = \angle C_1 $. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответствующих сторон равны. Соответствующие вершины: $ A \leftrightarrow A_1 $, $ C \leftrightarrow C_1 $, $ B \leftrightarrow B_1 $. Таким образом, получаем следующие отношения сторон:

$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $

где $ k $ — коэффициент подобия.

Используем известные длины сторон $ AB $ и $ A_1B_1 $ для нахождения коэффициента подобия $ k $:

$ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = \frac{1}{2} $

Теперь найдем неизвестную сторону $ AC $ треугольника $ \triangle ABC $. Из отношения $ \frac{AC}{A_1C_1} = k $ выразим $ AC $:

$ AC = k \cdot A_1C_1 $

$ AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} $

$ AC = 4 \text{ см} $

Далее найдем неизвестную сторону $ B_1C_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $. Из отношения $ \frac{BC}{B_1C_1} = k $ выразим $ B_1C_1 $:

$ B_1C_1 = \frac{BC}{k} $

$ B_1C_1 = \frac{7 \text{ см}}{1/2} $

$ B_1C_1 = 7 \text{ см} \cdot 2 $

$ B_1C_1 = 14 \text{ см} $

Ответ:

Сторона $ AC = 4 \text{ см} $.

Сторона $ B_1C_1 = 14 \text{ см} $.