Номер 168, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

168. В $\Delta ABC$ угол $C$ – прямой, $AC = 8$ см, $BC = 6$ см.
а) На одном чертеже постройте $\Delta A_1B_1C_1$ и $\Delta A_2B_2C_2$, подобные $\Delta ABC$, с коэффициентами подобия соответственно равными $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$.
б) Найдите длины медиан $C_1M_1$ и $C_2M_2$ построенных треугольников.

Дано:

треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$.

$AC = 8$ см.

$BC = 6$ см.

треугольники $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ подобны $\triangle ABC$.

коэффициент подобия для $\triangle A_1B_1C_1$ равен $k_1 = \frac{1}{4}$.

коэффициент подобия для $\triangle A_2B_2C_2$ равен $k_2 = \frac{3}{4}$.

Перевод в СИ:

$AC = 0.08$ м.

$BC = 0.06$ м.

Найти:

а) построить $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ на одном чертеже.

б) длины медиан $C_1M_1$ и $C_2M_2$.

Решение

а) На одном чертеже постройте $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$, подобные $\triangle ABC$, с коэффициентами подобия соответственно равными $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$.

построение:

1. постройте прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$, катетами $AC = 8$ см и $BC = 6$ см.

2. для построения подобных треугольников с вершиной подобия $C$ (центром гомотетии), отложите на катете $AC$ отрезки $CA_1$ и $CA_2$, а на катете $BC$ отрезки $CB_1$ и $CB_2$.

3. для $\triangle A_1B_1C_1$: $CA_1 = k_1 \cdot AC = \frac{1}{4} \cdot 8 \text{ см} = 2 \text{ см}$ и $CB_1 = k_1 \cdot BC = \frac{1}{4} \cdot 6 \text{ см} = 1.5 \text{ см}$. соедините точки $A_1$ и $B_1$. треугольник $A_1B_1C_1$ и есть первый искомый треугольник.

4. для $\triangle A_2B_2C_2$: $CA_2 = k_2 \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 8 \text{ см} = 6 \text{ см}$ и $CB_2 = k_2 \cdot BC = \frac{3}{4} \cdot 6 \text{ см} = 4.5 \text{ см}$. соедините точки $A_2$ и $B_2$. треугольник $A_2B_2C_2$ и есть второй искомый треугольник.

обе построенные фигуры $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ будут находиться внутри исходного треугольника $ABC$, имея общую вершину $C$ и общие катеты, расположенные на катетах $AC$ и $BC$ соответственно.

Ответ: построение описано выше.

б) Найдите длины медиан $C_1M_1$ и $C_2M_2$ построенных треугольников.

1. найдем длину гипотенузы $AB$ исходного треугольника $\triangle ABC$ по теореме пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

2. найдем длину медианы $CM$ (медианы, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$) исходного треугольника $\triangle ABC$.

в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины этой гипотенузы:

$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

3. поскольку треугольники $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k_1 = \frac{1}{4}$, то и соответствующие медианы этих треугольников относятся с тем же коэффициентом. медиана $C_1M_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$ соответствует медиане $CM$ в $\triangle ABC$.

$C_1M_1 = k_1 \cdot CM = \frac{1}{4} \cdot 5 \text{ см} = \frac{5}{4} \text{ см} = 1.25 \text{ см}$.

4. аналогично, для треугольника $\triangle A_2B_2C_2$, который подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k_2 = \frac{3}{4}$:

$C_2M_2 = k_2 \cdot CM = \frac{3}{4} \cdot 5 \text{ см} = \frac{15}{4} \text{ см} = 3.75 \text{ см}$.

Ответ: $C_1M_1 = 1.25 \text{ см}$, $C_2M_2 = 3.75 \text{ см}$.