Практическое задание, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте произвольный треугольник $ABC$ и через точку $O$, не принадлежащую ему, проведите прямые $AO$, $BO$ и $CO$. Отметьте точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ на этих прямых так, чтобы $\vec{AO} = 2\vec{A_1 O}$, $\vec{BO} = 2\vec{B_1 O}$, $\vec{CO} = 2\vec{C_1 O}$. Во сколько раз стороны и площадь треугольника $A_1B_1C_1$ больше треугольника $ABC$?

Дано:

Произвольный треугольник $ABC$.
Точка $O$ не принадлежит треугольнику $ABC$.
Через точку $O$ проведены прямые $AO$, $BO$, $CO$.
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ отмечены на этих прямых так, что:

• $\vec{AO} = 2\vec{A_1O}$
• $\vec{BO} = 2\vec{B_1O}$
• $\vec{CO} = 2\vec{C_1O}$

Найти:

Во сколько раз стороны треугольника $A_1B_1C_1$ больше сторон треугольника $ABC$.
Во сколько раз площадь треугольника $A_1B_1C_1$ больше площади треугольника $ABC$.

Решение:

Сначала преобразуем заданные векторные соотношения. Известно, что $\vec{XY} = -\vec{YX}$. Применим это к данным векторам относительно точки $O$ как начала координат:

• Из $\vec{AO} = 2\vec{A_1O}$ следует $-\vec{OA} = 2(-\vec{OA_1})$, что равносильно $\vec{OA} = 2\vec{OA_1}$.
• Аналогично, из $\vec{BO} = 2\vec{B_1O}$ следует $\vec{OB} = 2\vec{OB_1}$.
• И из $\vec{CO} = 2\vec{C_1O}$ следует $\vec{OC} = 2\vec{OC_1}$.

Эти соотношения означают, что точки $A, B, C$ являются образами точек $A_1, B_1, C_1$ соответственно при гомотетии (преобразовании подобия) с центром в точке $O$ и коэффициентом $k=2$. То есть, треугольник $ABC$ получается из треугольника $A_1B_1C_1$ растяжением от центра $O$ в 2 раза.

Из определения гомотетии следует, что $\triangle A_1B_1C_1$ подобен $\triangle ABC$.

Рассмотрим пары соответствующих сторон и углов:

• Треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OAB$ имеют общий угол $\angle O$. Соотношение сторон $OA/OA_1 = 2$ и $OB/OB_1 = 2$. По признаку подобия по двум сторонам и углу между ними ($\text{SAS}$), $\triangle OAB \sim \triangle OA_1B_1$ с коэффициентом подобия $k_{OAB, OA_1B_1} = OA/OA_1 = 2$.
• Следовательно, сторона $AB = k_{OAB, OA_1B_1} \cdot A_1B_1 = 2 \cdot A_1B_1$.
• Аналогично, рассматривая $\triangle OB_1C_1$ и $\triangle OBC$, получаем $BC = 2 \cdot B_1C_1$.
• И для $\triangle OC_1A_1$ и $\triangle OCA$, получаем $CA = 2 \cdot C_1A_1$.

Таким образом, каждая сторона треугольника $ABC$ в 2 раза длиннее соответствующей стороны треугольника $A_1B_1C_1$.Чтобы ответить на вопрос "Во сколько раз стороны треугольника $A_1B_1C_1$ больше треугольника $ABC$?", мы должны найти отношение длины стороны $\triangle A_1B_1C_1$ к длине соответствующей стороны $\triangle ABC$.Это отношение равно $A_1B_1 / AB = A_1B_1 / (2 \cdot A_1B_1) = 1/2$.Значит, стороны треугольника $A_1B_1C_1$ в $0.5$ раза больше сторон треугольника $ABC$ (или в 2 раза меньше).

Для площадей подобных треугольников известно, что отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение площадей $Area(A_1B_1C_1) / Area(ABC)$ будет равно квадрату отношения соответствующих сторон:

$\frac{\text{Area}(A_1B_1C_1)}{\text{Area}(ABC)} = \left(\frac{A_1B_1}{AB}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Следовательно, площадь треугольника $A_1B_1C_1$ в $0.25$ раза больше площади треугольника $ABC$ (или в 4 раза меньше).

Ответ:

Стороны треугольника $A_1B_1C_1$ в $0.5$ раза больше сторон треугольника $ABC$.
Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ в $0.25$ раза больше площади треугольника $ABC$.