Страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

165. Запишите уравнение:

а) прямой, симметричной прямой $y = 2x + 5$ относительно начала координат;

б) прямой, полученной из прямой $y = 2x - 4$ поворотом вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки.

Дано:

а) Исходная прямая: $y = 2x + 5$

б) Исходная прямая: $y = 2x - 4$, угол поворота: $90^\circ$ против часовой стрелки относительно начала координат

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в общепринятых единицах.

Найти:

а) Уравнение прямой, симметричной данной относительно начала координат.

б) Уравнение прямой, полученной поворотом данной прямой вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки.

Решение:

а) прямой, симметричной прямой $y = 2x + 5$ относительно начала координат

Для нахождения уравнения прямой, симметричной данной прямой относительно начала координат $(0,0)$, необходимо учесть, что если точка $(x, y)$ лежит на исходной прямой, то симметричная ей точка $(-x, -y)$ будет лежать на новой прямой. Таким образом, в исходном уравнении $y = 2x + 5$ мы заменяем $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$.

Подставим $-y$ вместо $y$ и $-x$ вместо $x$ в уравнение $y = 2x + 5$:

$-y = 2(-x) + 5$

Упростим выражение:

$-y = -2x + 5$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить $y$:

$y = -(-2x) - 5$

$y = 2x - 5$

Ответ: $y = 2x - 5$

б) прямой, полученной из прямой $y = 2x - 4$ поворотом вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки.

При повороте точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки, новые координаты $(x', y')$ определяются формулами:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

В данном случае угол поворота $\alpha = 90^\circ$. Значения тригонометрических функций для $90^\circ$ составляют $\cos 90^\circ = 0$ и $\sin 90^\circ = 1$.

Подставим эти значения в формулы преобразования:

$x' = x \cdot 0 - y \cdot 1 = -y$

$y' = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$

Из полученных уравнений выразим $x$ и $y$ через $x'$ и $y'$:

$x = y'$

$y = -x'$

Теперь подставим эти выражения для $x$ и $y$ в исходное уравнение прямой $y = 2x - 4$:

$-x' = 2(y') - 4$

Для удобства записи и соответствия стандартному виду уравнения прямой, заменим $x'$ обратно на $x$ и $y'$ на $y$:

$-x = 2y - 4$

Выразим $y$ из этого уравнения:

$2y = -x + 4$

Разделим обе части уравнения на $2$:

$y = \frac{-x + 4}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + 2$

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте произвольный треугольник $ABC$ и через точку $O$, не принадлежащую ему, проведите прямые $AO$, $BO$ и $CO$. Отметьте точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ на этих прямых так, чтобы $\vec{AO} = 2\vec{A_1 O}$, $\vec{BO} = 2\vec{B_1 O}$, $\vec{CO} = 2\vec{C_1 O}$. Во сколько раз стороны и площадь треугольника $A_1B_1C_1$ больше треугольника $ABC$?

Дано:

Произвольный треугольник $ABC$.
Точка $O$ не принадлежит треугольнику $ABC$.
Через точку $O$ проведены прямые $AO$, $BO$, $CO$.
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ отмечены на этих прямых так, что:

• $\vec{AO} = 2\vec{A_1O}$
• $\vec{BO} = 2\vec{B_1O}$
• $\vec{CO} = 2\vec{C_1O}$

Найти:

Во сколько раз стороны треугольника $A_1B_1C_1$ больше сторон треугольника $ABC$.
Во сколько раз площадь треугольника $A_1B_1C_1$ больше площади треугольника $ABC$.

Решение:

Сначала преобразуем заданные векторные соотношения. Известно, что $\vec{XY} = -\vec{YX}$. Применим это к данным векторам относительно точки $O$ как начала координат:

• Из $\vec{AO} = 2\vec{A_1O}$ следует $-\vec{OA} = 2(-\vec{OA_1})$, что равносильно $\vec{OA} = 2\vec{OA_1}$.
• Аналогично, из $\vec{BO} = 2\vec{B_1O}$ следует $\vec{OB} = 2\vec{OB_1}$.
• И из $\vec{CO} = 2\vec{C_1O}$ следует $\vec{OC} = 2\vec{OC_1}$.

Эти соотношения означают, что точки $A, B, C$ являются образами точек $A_1, B_1, C_1$ соответственно при гомотетии (преобразовании подобия) с центром в точке $O$ и коэффициентом $k=2$. То есть, треугольник $ABC$ получается из треугольника $A_1B_1C_1$ растяжением от центра $O$ в 2 раза.

Из определения гомотетии следует, что $\triangle A_1B_1C_1$ подобен $\triangle ABC$.

Рассмотрим пары соответствующих сторон и углов:

• Треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OAB$ имеют общий угол $\angle O$. Соотношение сторон $OA/OA_1 = 2$ и $OB/OB_1 = 2$. По признаку подобия по двум сторонам и углу между ними ($\text{SAS}$), $\triangle OAB \sim \triangle OA_1B_1$ с коэффициентом подобия $k_{OAB, OA_1B_1} = OA/OA_1 = 2$.
• Следовательно, сторона $AB = k_{OAB, OA_1B_1} \cdot A_1B_1 = 2 \cdot A_1B_1$.
• Аналогично, рассматривая $\triangle OB_1C_1$ и $\triangle OBC$, получаем $BC = 2 \cdot B_1C_1$.
• И для $\triangle OC_1A_1$ и $\triangle OCA$, получаем $CA = 2 \cdot C_1A_1$.

Таким образом, каждая сторона треугольника $ABC$ в 2 раза длиннее соответствующей стороны треугольника $A_1B_1C_1$.Чтобы ответить на вопрос "Во сколько раз стороны треугольника $A_1B_1C_1$ больше треугольника $ABC$?", мы должны найти отношение длины стороны $\triangle A_1B_1C_1$ к длине соответствующей стороны $\triangle ABC$.Это отношение равно $A_1B_1 / AB = A_1B_1 / (2 \cdot A_1B_1) = 1/2$.Значит, стороны треугольника $A_1B_1C_1$ в $0.5$ раза больше сторон треугольника $ABC$ (или в 2 раза меньше).

Для площадей подобных треугольников известно, что отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение площадей $Area(A_1B_1C_1) / Area(ABC)$ будет равно квадрату отношения соответствующих сторон:

$\frac{\text{Area}(A_1B_1C_1)}{\text{Area}(ABC)} = \left(\frac{A_1B_1}{AB}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Следовательно, площадь треугольника $A_1B_1C_1$ в $0.25$ раза больше площади треугольника $ABC$ (или в 4 раза меньше).

Ответ:

Стороны треугольника $A_1B_1C_1$ в $0.5$ раза больше сторон треугольника $ABC$.
Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ в $0.25$ раза больше площади треугольника $ABC$.