Страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

153. а) На прямой $MK$, содержащей основание равнобедренного $ΔMNK$, отмечена точка $C$ так, что $K$ лежит между точками $M$ и $C$. Укажите вектор параллельного переноса, при котором отрезок $NK$ отображается на отрезок $BC$. Постройте образ $ΔMNK$ при этом параллельном переносе.

б) Можно ли каким-либо видом движений (или их композицией) преобразовать изображение одной из золотых башен Дома министерств в другую (рисунок 97)?

Рисунок 97

a) Дано:

Равнобедренный треугольник $\Delta MNK$ с основанием $MK$.

Точка $C$ лежит на прямой $MK$ так, что $K$ находится между $M$ и $C$.

Параллельный перенос отображает отрезок $NK$ на отрезок $BC$.

Найти:

Вектор параллельного переноса.

Построить образ $\Delta MNK$ при этом параллельном переносе.

Решение:

При параллельном переносе каждая точка фигуры перемещается на один и тот же вектор. Если отрезок $NK$ отображается на отрезок $BC$, это означает, что точка $N$ переходит в точку $B$, а точка $K$ переходит в точку $C$.

Следовательно, вектором параллельного переноса является вектор $\vec{KC}$ (или эквивалентный ему вектор $\vec{NB}$).

Для построения образа $\Delta MNK$, обозначим его $\Delta M'N'K'$.

Мы уже знаем, что $N' = B$ и $K' = C$.

Для нахождения точки $M'$, необходимо применить тот же вектор переноса $\vec{KC}$ к точке $M$. Таким образом, $M'$ является точкой, полученной из $M$ путем смещения на вектор $\vec{KC}$.

Координаты точки $M'$ можно найти как $M' = M + \vec{KC}$.

Или, если $K = (x_K, y_K)$, $C = (x_C, y_C)$, то вектор переноса $\vec{v} = (x_C - x_K, y_C - y_K)$.

Если $M = (x_M, y_M)$, то $M' = (x_M + x_C - x_K, y_M + y_C - y_K)$.

Образом треугольника $\Delta MNK$ при данном параллельном переносе будет треугольник $\Delta M'BC$.

Алгоритм построения:

1. Начертите равнобедренный треугольник $MNK$ с основанием $MK$.

2. На прямой, содержащей $MK$, отложите от точки $K$ отрезок $KC$ так, чтобы $K$ находилась между $M$ и $C$.

3. Постройте вектор переноса $\vec{KC}$.

4. От точки $N$ отложите вектор $\vec{NB}$, равный $\vec{KC}$. Точка $B$ является образом точки $N$.

5. От точки $M$ отложите вектор $\vec{MM'}$, равный $\vec{KC}$. Точка $M'$ является образом точки $M$.

6. Соедините точки $M'$, $B$, $C$. Полученный треугольник $\Delta M'BC$ является образом $\Delta MNK$.

Ответ: Вектор параллельного переноса — $\vec{KC}$. Образом $\Delta MNK$ является $\Delta M'BC$, где $M'$ — точка, полученная переносом точки $M$ на вектор $\vec{KC}$.

б) Решение:

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. К видам движений относятся параллельный перенос, поворот, осевая симметрия (отражение) и скользящая симметрия (композиция отражения и переноса).

Рассматривая изображение двух золотых башен на рисунке 97, мы видим, что они выглядят идентично по форме и размеру, но расположены симметрично относительно некоторой центральной вертикальной оси.

Левая башня, судя по перспективе, имеет более выраженную правую грань, а правая башня — более выраженную левую грань. Это указывает на то, что они являются зеркальными отражениями друг друга.

Следовательно, одну башню можно преобразовать в другую с помощью осевой симметрии (отражения) относительно вертикальной прямой, проходящей посередине между ними.

Поскольку осевая симметрия является видом движения, то такое преобразование возможно.

Ответ: Да, изображение одной башни можно преобразовать в изображение другой с помощью осевой симметрии (отражения).

154. а) Даны $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $AC = 3$ см, $BC = 1,5$ см, и точка $O$, принадлежащая прямой $AB$, причем $OA = 2$ см и точка $A$ лежит на отрезке $OB$. Постройте образ $\triangle ABC$ при повороте около точки $O$ по часовой стрелке на угол $60^\circ$.

б) Две равные окружности с центрами в точках $A$ и $B$ пересекаются в точках $C$ и $D$. На какой угол надо повернуть одну из них около точки $C$, чтобы она совпала с другой окружностью?

а) Дано:

$\triangle ABC$

$\angle C = 90^\circ$

$AC = 3$ см

$BC = 1,5$ см

Точка $O$ принадлежит прямой $AB$

$OA = 2$ см

Точка $A$ лежит на отрезке $OB$

Угол поворота: $60^\circ$ по часовой стрелке

Перевод в СИ:

$AC = 3 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$

$BC = 1,5 \text{ см} = 0,015 \text{ м}$

$OA = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Найти:

Построить образ $\triangle ABC$ при повороте около точки $O$ по часовой стрелке на угол $60^\circ$.

Решение:

1. Построение исходного треугольника $\triangle ABC$:

Поскольку $\angle C = 90^\circ$, $\triangle ABC$ является прямоугольным треугольником.

а) Постройте прямой угол. Отложите на одной из его сторон отрезок $AC = 3$ см.

б) Отложите на другой стороне прямого угла отрезок $CB = 1,5$ см.

в) Соедините точки $A$ и $B$. Треугольник $\triangle ABC$ построен.

2. Нахождение положения точки $O$:

Точка $O$ принадлежит прямой $AB$. Точка $A$ лежит на отрезке $OB$. Это означает, что точки $O$, $A$, $B$ расположены на прямой в указанном порядке. Длина отрезка $OA = 2$ см. На прямой $AB$ отложите от точки $A$ отрезок $AO$ длиной $2$ см в направлении, противоположном вектору $\vec{AB}$.

3. Построение образа треугольника $\triangle A'B'C'$ при повороте:

Для каждой вершины $X$ (точки $A$, $B$, $C$) треугольника $\triangle ABC$ выполните следующие шаги для нахождения её образа $X'$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ по часовой стрелке:

а) Соедините точку $O$ с точкой $X$.

б) От луча $OX$ отложите угол $60^\circ$ по часовой стрелке.

в) На полученном луче отложите отрезок $OX'$ такой же длины, как $OX$. Точка $X'$ является образом точки $X$.

Примените эту процедуру для точек $A$, $B$, $C$ по очереди:

г) Для точки $A$: Отложите от луча $OA$ угол $60^\circ$ по часовой стрелке. На новом луче отложите отрезок $OA'$ длиной $OA = 2$ см. Точка $A'$ — образ точки $A$.

д) Для точки $B$: Соедините $O$ с $B$. Отложите от луча $OB$ угол $60^\circ$ по часовой стрелке. На новом луче отложите отрезок $OB'$ длиной $OB = OA + AB$. (Длину $AB$ можно найти по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 1.5^2} = \sqrt{9 + 2.25} = \sqrt{11.25} \approx 3.35$ см. Тогда $OB \approx 2 + 3.35 = 5.35$ см). Точка $B'$ — образ точки $B$.

е) Для точки $C$: Соедините $O$ с $C$. Отложите от луча $OC$ угол $60^\circ$ по часовой стрелке. На новом луче отложите отрезок $OC'$ длиной $OC$. Точка $C'$ — образ точки $C$.

Соедините полученные точки $A'$, $B'$, $C'$. Треугольник $\triangle A'B'C'$ является искомым образом треугольника $\triangle ABC$ при заданном повороте.

Ответ: Построение описано выше.

б) Дано:

Две равные окружности с центрами в точках $A$ и $B$.

Окружности пересекаются в точках $C$ и $D$.

Найти:

Угол поворота одной окружности около точки $C$, чтобы она совпала с другой окружностью.

Решение:

Пусть $R$ — радиус обеих равных окружностей.

Поскольку точки $C$ и $D$ являются точками пересечения обеих окружностей, они равноудалены от центров $A$ и $B$. Таким образом:

$AC = R$ (так как $C$ лежит на окружности с центром $A$)

$BC = R$ (так как $C$ лежит на окружности с центром $B$)

Для того чтобы одна окружность (например, окружность с центром $A$) совпала с другой окружностью (с центром $B$) при повороте вокруг точки $C$, необходимо, чтобы центр первой окружности $A$ перешел в центр второй окружности $B$.

Поворот вокруг точки $C$, переводящий точку $A$ в точку $B$, определяется углом $\angle ACB$. Длины $CA$ и $CB$ должны быть равны, что и выполняется, так как $CA = CB = R$.

Треугольник $\triangle ACB$ является равнобедренным, так как $AC = BC = R$. Длина третьей стороны $AB$ является расстоянием между центрами окружностей.

В задачах, требующих конкретного числового ответа без указания дополнительных параметров, часто подразумевается «стандартная» или симметричная конфигурация. Наиболее распространенным таким случаем для двух равных пересекающихся окружностей является ситуация, когда расстояние между их центрами $AB$ также равно радиусу $R$.

Если $AB = R$, то треугольник $\triangle ACB$ имеет все стороны равными $R$ ($AC = BC = AB = R$). Такой треугольник является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Следовательно, в этом случае угол $\angle ACB = 60^\circ$. Этот угол и является искомым углом поворота.

Ответ: $60^\circ$.

155. Выполните композицию:

а) поворотов против часовой стрелки данного отрезка $AB$ на угол $45^{\circ}$ вокруг не принадлежащей ему точки и на угол $30^{\circ}$ около какой-либо его внутренней точки;

б) параллельного переноса $\Delta ABC$ на вектор, равный $\vec{AB} + \vec{AC}$, и поворота на угол $60^{\circ}$ по часовой стрелке вокруг какой-нибудь точки $M$ плоскости;

в) параллельного переноса окружности на вектор $\vec{m}$ и осевой симметрии относительно произвольно выбранной прямой $l$.

а) поворотов против часовой стрелки данного отрезка $AB$ на угол $45^\circ$ вокруг не принадлежащей ему точки и на угол $30^\circ$ около какой-либо его внутренней точки

Дано:

Дан отрезок $AB$.

Первое преобразование $R_1$: поворот отрезка $AB$ на угол $\alpha_1 = 45^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $O_1$, не принадлежащей отрезку $AB$.

Второе преобразование $R_2$: поворот отрезка $AB$ (или его образа после $R_1$) на угол $\alpha_2 = 30^\circ$ против часовой стрелки вокруг внутренней точки $O_2$ отрезка $AB$ (или его образа).

Требуется выполнить композицию $R_2 \circ R_1$.

Найти:

Вид и основные характеристики (угол и центр) результирующего преобразования.

Решение:

Композиция двух поворотов с углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$ является либо поворотом, либо параллельным переносом. Если сумма углов $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$ не равна $0^\circ$ или $360^\circ$ (по модулю $360^\circ$), то композиция является поворотом на угол $\alpha$. Если сумма углов равна $0^\circ$ или $360^\circ$ (по модулю $360^\circ$), то композиция является параллельным переносом.

В данном случае, оба поворота происходят против часовой стрелки, поэтому их углы складываются:

$\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$.

Поскольку суммарный угол $75^\circ$ не равен $0^\circ \pmod{360^\circ}$, результирующее преобразование является поворотом.

Центр этого результирующего поворота является единственной неподвижной точкой композиции. Его точное положение зависит от конкретного расположения центров $O_1$ и $O_2$ исходных поворотов и может быть найдено геометрически.

Ответ:

Композиция является поворотом на угол $75^\circ$ против часовой стрелки. Центр этого поворота определяется геометрически положением центров исходных поворотов $O_1$ и $O_2$.

б) параллельного переноса $\triangle ABC$ на вектор, равный $\vec{AB} + \vec{AC}$, и поворота на угол $60^\circ$ по часовой стрелке вокруг какой-нибудь точки $M$ плоскости

Дано:

Дан треугольник $\triangle ABC$.

Первое преобразование $T$: параллельный перенос на вектор $\vec{p} = \vec{AB} + \vec{AC}$. Вектор $\vec{AB} + \vec{AC}$ является вектором $\vec{AD}$, где $D$ — четвертая вершина параллелограмма $ABDC$, построенного на сторонах $AB$ и $AC$, исходящих из вершины $A$.

Второе преобразование $R$: поворот на угол $\beta = 60^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $M$ плоскости.

Требуется выполнить композицию $R \circ T$ (сначала перенос, затем поворот).

Найти:

Вид и основные характеристики (угол и центр) результирующего преобразования.

Решение:

Композиция параллельного переноса и поворота, угол которого не равен $0^\circ$ или $360^\circ$, всегда является поворотом.

Угол результирующего поворота равен углу поворота $R$, то есть $60^\circ$ по часовой стрелке.

Центр результирующего поворота $O$ определяется взаимным расположением точки $M$ (центра поворота $R$) и вектора переноса $\vec{p}$. Этот центр является единственной неподвижной точкой композиции и может быть найден геометрически или аналитически. Например, точка $O$ удовлетворяет условию $R(T(O)) = O$.

Ответ:

Композиция является поворотом на угол $60^\circ$ по часовой стрелке. Центр этого поворота определяется положением точки $M$ и вектора переноса $\vec{AB} + \vec{AC}$.

в) параллельного переноса окружности на вектор $\vec{m}$ и осевой симметрии относительно произвольно выбранной прямой $l$

Дано:

Дана окружность.

Первое преобразование $T$: параллельный перенос окружности на вектор $\vec{m}$.

Второе преобразование $S_l$: осевая симметрия относительно произвольно выбранной прямой $l$.

Требуется выполнить композицию $S_l \circ T$ (сначала перенос, затем осевая симметрия).

Найти:

Вид результирующего преобразования.

Решение:

Как параллельный перенос, так и осевая симметрия являются изометриями, то есть преобразованиями, сохраняющими расстояния между точками, а следовательно, и форму, и размер геометрических фигур. Поэтому окружность после композиции этих преобразований останется окружностью того же радиуса.

Композиция параллельного переноса и осевой симметрии является скользящей симметрией. Скользящая симметрия — это изометрия, представляющая собой композицию осевой симметрии и параллельного переноса вдоль оси этой симметрии.

В общем случае (для произвольно выбранной прямой $l$ и произвольного вектора $\vec{m}$), композиция осевой симметрии и параллельного переноса является скользящей симметрией. В частных случаях, когда вектор переноса параллелен оси симметрии или перпендикулярен ей, скользящая симметрия может вырождаться в простую осевую симметрию или перенос, но более общим и точным названием для такой композиции является скользящая симметрия.

Ответ:

Композиция является скользящей симметрией. В результате окружность перейдет в окружность того же радиуса, положение которой определяется сначала переносом на вектор $\vec{m}$, а затем осевой симметрией относительно прямой $l$.