Номер 153, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

153. а) На прямой $MK$, содержащей основание равнобедренного $ΔMNK$, отмечена точка $C$ так, что $K$ лежит между точками $M$ и $C$. Укажите вектор параллельного переноса, при котором отрезок $NK$ отображается на отрезок $BC$. Постройте образ $ΔMNK$ при этом параллельном переносе.

б) Можно ли каким-либо видом движений (или их композицией) преобразовать изображение одной из золотых башен Дома министерств в другую (рисунок 97)?

Рисунок 97

a) Дано:

Равнобедренный треугольник $\Delta MNK$ с основанием $MK$.

Точка $C$ лежит на прямой $MK$ так, что $K$ находится между $M$ и $C$.

Параллельный перенос отображает отрезок $NK$ на отрезок $BC$.

Найти:

Вектор параллельного переноса.

Построить образ $\Delta MNK$ при этом параллельном переносе.

Решение:

При параллельном переносе каждая точка фигуры перемещается на один и тот же вектор. Если отрезок $NK$ отображается на отрезок $BC$, это означает, что точка $N$ переходит в точку $B$, а точка $K$ переходит в точку $C$.

Следовательно, вектором параллельного переноса является вектор $\vec{KC}$ (или эквивалентный ему вектор $\vec{NB}$).

Для построения образа $\Delta MNK$, обозначим его $\Delta M'N'K'$.

Мы уже знаем, что $N' = B$ и $K' = C$.

Для нахождения точки $M'$, необходимо применить тот же вектор переноса $\vec{KC}$ к точке $M$. Таким образом, $M'$ является точкой, полученной из $M$ путем смещения на вектор $\vec{KC}$.

Координаты точки $M'$ можно найти как $M' = M + \vec{KC}$.

Или, если $K = (x_K, y_K)$, $C = (x_C, y_C)$, то вектор переноса $\vec{v} = (x_C - x_K, y_C - y_K)$.

Если $M = (x_M, y_M)$, то $M' = (x_M + x_C - x_K, y_M + y_C - y_K)$.

Образом треугольника $\Delta MNK$ при данном параллельном переносе будет треугольник $\Delta M'BC$.

Алгоритм построения:

1. Начертите равнобедренный треугольник $MNK$ с основанием $MK$.

2. На прямой, содержащей $MK$, отложите от точки $K$ отрезок $KC$ так, чтобы $K$ находилась между $M$ и $C$.

3. Постройте вектор переноса $\vec{KC}$.

4. От точки $N$ отложите вектор $\vec{NB}$, равный $\vec{KC}$. Точка $B$ является образом точки $N$.

5. От точки $M$ отложите вектор $\vec{MM'}$, равный $\vec{KC}$. Точка $M'$ является образом точки $M$.

6. Соедините точки $M'$, $B$, $C$. Полученный треугольник $\Delta M'BC$ является образом $\Delta MNK$.

Ответ: Вектор параллельного переноса — $\vec{KC}$. Образом $\Delta MNK$ является $\Delta M'BC$, где $M'$ — точка, полученная переносом точки $M$ на вектор $\vec{KC}$.

б) Решение:

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. К видам движений относятся параллельный перенос, поворот, осевая симметрия (отражение) и скользящая симметрия (композиция отражения и переноса).

Рассматривая изображение двух золотых башен на рисунке 97, мы видим, что они выглядят идентично по форме и размеру, но расположены симметрично относительно некоторой центральной вертикальной оси.

Левая башня, судя по перспективе, имеет более выраженную правую грань, а правая башня — более выраженную левую грань. Это указывает на то, что они являются зеркальными отражениями друг друга.

Следовательно, одну башню можно преобразовать в другую с помощью осевой симметрии (отражения) относительно вертикальной прямой, проходящей посередине между ними.

Поскольку осевая симметрия является видом движения, то такое преобразование возможно.

Ответ: Да, изображение одной башни можно преобразовать в изображение другой с помощью осевой симметрии (отражения).