Номер 148, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

148. 1A) На тело действовали силы $F_1$ и $F_2$, как показано на рисунке 81. Постройте равнодействующую этих сил.

Рисунок 81

2A) Дан отрезок $AB = 4$ см и точка C, принадлежащая ему. Постройте вектор $\vec{CK} = \frac{3}{2}\vec{AB}$.

3В) Дан параллелограмм ABCD и точки K и M на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно такие, что $AK = KB$, а $CM : MD = 2 : 3$. Разложите вектор $\vec{KM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

4В) Найдите угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если известны координаты точек: $A(0; -2)$, $B(-2\sqrt{3}; 0)$, $C(1; 1,5)$, $D(5; 1,5)$.

5С) Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $B(4; 2)$ и перпендикулярной вектору $\vec{a}(3; -5)$.

1A) Для построения равнодействующей силы $F$ (векторной суммы $F_1 + F_2$) можно использовать правило параллелограмма или правило треугольника. Один из способов, используя правило треугольника: Начните с произвольной точки на плоскости (начало отсчета). От этой точки отложите вектор $F_1$ в соответствии с его направлением и длиной, как показано на рисунке 81 (вертикально вниз на 3 единицы по сетке). Затем, от конца (головы) вектора $F_1$ отложите вектор $F_2$ в соответствии с его направлением и длиной, как показано на рисунке 81 (4 единицы вправо и 2 единицы вверх по сетке). Равнодействующая сила $F$ будет представлять собой вектор, проведенный от начала вектора $F_1$ до конца (головы) вектора $F_2$. Если представить векторы в координатной форме (предполагая начало $F_1$ в точке $(0,0)$): $F_1 = (0, -3)$, $F_2 = (4, 2)$. Тогда равнодействующая $F = F_1 + F_2 = (0+4, -3+2) = (4, -1)$. Это означает, что равнодействующий вектор $F$ направлен на 4 единицы вправо и на 1 единицу вниз от общей начальной точки. Ответ: Равнодействующая сила $F$ строится как векторная сумма $F_1$ и $F_2$ по правилу треугольника или параллелограмма.

2A) Для построения вектора $\vec{CK}$ выполните следующие шаги: Начертите отрезок $AB$ длиной 4 см. Выберите произвольную точку $C$ на плоскости. Поскольку коэффициент $\frac{3}{2}$ положительный, вектор $\vec{CK}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{AB}$. Длина (модуль) вектора $\vec{CK}$ будет в $\frac{3}{2}$ раза больше длины отрезка $AB$: $|\vec{CK}| = \frac{3}{2} \cdot |\vec{AB}| = \frac{3}{2} \cdot 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Таким образом, отложите от точки $C$ вектор длиной 6 см в том же направлении, что и вектор $\vec{AB}$. Конечная точка этого вектора будет точкой $K$. Ответ: Вектор $\vec{CK}$ строится из точки $C$ в направлении вектора $\vec{AB}$ и имеет длину 6 см.

3B)Дано:
Параллелограмм $ABCD$.
Точка $K$ на стороне $AB$ такая, что $AK = KB$.
Точка $M$ на стороне $CD$ такая, что $CM : MD = 2 : 3$.
Найти: Разложить вектор $\vec{KM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.
Решение:
Поскольку $K$ является серединой стороны $AB$ (из условия $AK = KB$), вектор $\vec{AK}$ можно выразить как половину вектора $\vec{AB}$: $\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB}$
Точка $M$ лежит на стороне $CD$ и делит ее в отношении $CM : MD = 2 : 3$. Это означает, что отрезок $CD$ состоит из $2+3=5$ равных частей, из которых $MD$ составляет 3 части. Следовательно, вектор $\vec{DM}$ составляет $\frac{3}{5}$ от вектора $\vec{DC}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{DC}$ равен вектору $\vec{AB}$ (как по длине, так и по направлению). Таким образом, $\vec{DM} = \frac{3}{5}\vec{DC} = \frac{3}{5}\vec{AB}$.
Вектор $\vec{KM}$ можно разложить, используя правило треугольника или вычитание векторов положения относительно общей точки (например, $A$): $\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK}$
Вектор $\vec{AM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DM}$: $\vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM}$
Подставим полученные выражения для $\vec{AK}$ и $\vec{DM}$ в формулу для $\vec{KM}$: $\vec{KM} = (\vec{AD} + \frac{3}{5}\vec{AB}) - \frac{1}{2}\vec{AB}$
Сгруппируем члены, содержащие вектор $\vec{AB}$: $\vec{KM} = \vec{AD} + (\frac{3}{5} - \frac{1}{2})\vec{AB}$
Выполним вычитание дробей: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6}{10} - \frac{5}{10} = \frac{1}{10}$
Окончательное разложение вектора $\vec{KM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$: $\vec{KM} = \frac{1}{10}\vec{AB} + \vec{AD}$
Ответ: $\vec{KM} = \frac{1}{10}\vec{AB} + \vec{AD}$.

4B)Дано:
Координаты точек: $A(0; -2)$, $B(-2\sqrt{3}; 0)$, $C(1; 1.5)$, $D(5; 1.5)$.
Найти: Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
Решение:
Сначала найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из координат конечной точки.
$\vec{AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y) = (-2\sqrt{3} - 0; 0 - (-2)) = (-2\sqrt{3}; 2)$
$\vec{CD} = (D_x - C_x; D_y - C_y) = (5 - 1; 1.5 - 1.5) = (4; 0)$
Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используется формула скалярного произведения: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$
Отсюда, $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-2\sqrt{3})(4) + (2)(0) = -8\sqrt{3} + 0 = -8\sqrt{3}$
Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (2)^2} = \sqrt{(4 \cdot 3) + 4} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$
$|\vec{CD}| = \sqrt{(4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4$
Теперь подставим вычисленные значения в формулу для $\cos\theta$: $\cos\theta = \frac{-8\sqrt{3}}{4 \cdot 4} = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Угол $\theta$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $150^\circ$ (или $\frac{5\pi}{6}$ радиан). Ответ: Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен $150^\circ$.

5C)Дано:
Точка $B(4; 2)$.
Вектор $\vec{a}(3; -5)$.
Найти: Уравнение прямой, проходящей через точку $B$ и перпендикулярной вектору $\vec{a}$.
Решение:
Если прямая перпендикулярна вектору $\vec{a}(3; -5)$, то вектор $\vec{a}$ является нормальным вектором для этой прямой. Общее уравнение прямой задается формулой $Ax + By + C = 0$, где $(A; B)$ - координаты нормального вектора к прямой. В данном случае, нормальный вектор $\vec{n} = \vec{a} = (3; -5)$. Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид: $3x - 5y + C = 0$
Чтобы найти значение $C$, подставим координаты точки $B(4; 2)$, через которую проходит прямая, в это уравнение: $3(4) - 5(2) + C = 0$
$12 - 10 + C = 0$
$2 + C = 0$
$C = -2$
Таким образом, уравнение прямой: $3x - 5y - 2 = 0$
Ответ: $3x - 5y - 2 = 0$.