Номер 143, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

143. Докажите, используя векторы, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.

Дано:

Параллелограмм ABCD. Пусть стороны параллелограмма, исходящие из одной вершины, заданы векторами $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Длины сторон параллелограмма: $AB = |\vec{a}|$, $AD = |\vec{b}|$. Так как это параллелограмм, $CD = AB = |\vec{a}|$ и $BC = AD = |\vec{b}|$.

Диагонали параллелограмма: $AC$ и $DB$.

Найти:

Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.

То есть, доказать: $|\vec{AC}|^2 + |\vec{DB}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + |\vec{CD}|^2 + |\vec{DA}|^2$.

Решение:

Обозначим векторы, соответствующие сторонам параллелограмма ABCD, как $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По свойствам параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Вычислим сумму квадратов длин сторон параллелограмма:

$|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + |\vec{CD}|^2 + |\vec{DA}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Теперь выразим векторы диагоналей через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

Первая диагональ $\vec{AC}$ является суммой векторов, исходящих из общей вершины A:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Вторая диагональ $\vec{DB}$ (или $\vec{BD}$) является разностью векторов. Для вектора $\vec{DB}$ мы можем пройти из D в B:

$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$. Поскольку $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$, получаем:

$\vec{DB} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$.

Найдем квадраты длин этих диагоналей. Квадрат длины вектора равен его скалярному произведению на себя: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Для диагонали $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Учитывая, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, получаем:

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Для диагонали $\vec{DB}$:

$|\vec{DB}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Аналогично:

$|\vec{DB}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Теперь сложим квадраты длин диагоналей:

$|\vec{AC}|^2 + |\vec{DB}|^2 = (|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2) + (|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2)$.

Раскроем скобки и сгруппируем члены:

$|\vec{AC}|^2 + |\vec{DB}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Члены с скалярным произведением $2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ взаимно уничтожаются:

$|\vec{AC}|^2 + |\vec{DB}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Сравнивая полученный результат с суммой квадратов длин сторон, мы видим:

Сумма квадратов длин диагоналей: $2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Сумма квадратов длин сторон: $2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Обе суммы равны, что доказывает требуемое утверждение.

Ответ:

Доказано, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон, используя векторный метод.