Страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

142. Найдите длину вектора, равного:

а) сумме векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если $ |\vec{a}|=5, |\vec{b}|=3, \angle(\vec{a},\vec{b})=60^{\circ} $;

б) разности $ \vec{b} - \vec{a} $ векторов, если $ |\vec{a}|=\sqrt{2}, |\vec{b}|=8, \angle(\vec{a},\vec{b})=45^{\circ} $.

a) сумме векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Дано:

$|\vec{a}| = 5$

$|\vec{b}| = 3$

$\angle(\vec{a},\vec{b}) = 60°$

Найти:

$|\vec{a}+\vec{b}|$

Решение:

Для нахождения длины суммы двух векторов используется формула, основанная на скалярном произведении:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})$

Раскроем скобки:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

По определению скалярного произведения $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a},\vec{b}))$. Подставим эти выражения в формулу:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a},\vec{b})) + |\vec{b}|^2$

Теперь подставим заданные значения:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(60°)$ + $3^2$

Известно, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$.

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 25 + 2 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} + 9$

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 25 + 15 + 9$

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 49$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину вектора:

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{49}$

$|\vec{a}+\vec{b}| = 7$

Ответ: 7

б) разности $\vec{b}-\vec{a}$ векторов

Дано:

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = 8$

$\angle(\vec{a},\vec{b}) = 45°$

Найти:

$|\vec{b}-\vec{a}|$

Решение:

Для нахождения длины разности двух векторов используется аналогичная формула:

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = (\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{b}-\vec{a})$

Раскроем скобки:

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{a} \cdot \vec{a}$

Подставим выражения для скалярных произведений:

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a},\vec{b})) + |\vec{a}|^2$

Теперь подставим заданные значения:

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 8^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \cos(45°) + (\sqrt{2})^2$

Известно, что $\cos(45°) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 64 - 16\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2$

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 64 - 16 + 2$

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 48 + 2$

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 50$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину вектора:

$|\vec{b}-\vec{a}| = \sqrt{50}$

Упростим корень:

$|\vec{b}-\vec{a}| = \sqrt{25 \cdot 2}$

$|\vec{b}-\vec{a}| = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$

143. Докажите, используя векторы, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.

Дано:

Параллелограмм ABCD. Пусть стороны параллелограмма, исходящие из одной вершины, заданы векторами $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Длины сторон параллелограмма: $AB = |\vec{a}|$, $AD = |\vec{b}|$. Так как это параллелограмм, $CD = AB = |\vec{a}|$ и $BC = AD = |\vec{b}|$.

Диагонали параллелограмма: $AC$ и $DB$.

Найти:

Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.

То есть, доказать: $|\vec{AC}|^2 + |\vec{DB}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + |\vec{CD}|^2 + |\vec{DA}|^2$.

Решение:

Обозначим векторы, соответствующие сторонам параллелограмма ABCD, как $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По свойствам параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Вычислим сумму квадратов длин сторон параллелограмма:

$|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + |\vec{CD}|^2 + |\vec{DA}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Теперь выразим векторы диагоналей через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

Первая диагональ $\vec{AC}$ является суммой векторов, исходящих из общей вершины A:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Вторая диагональ $\vec{DB}$ (или $\vec{BD}$) является разностью векторов. Для вектора $\vec{DB}$ мы можем пройти из D в B:

$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$. Поскольку $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$, получаем:

$\vec{DB} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$.

Найдем квадраты длин этих диагоналей. Квадрат длины вектора равен его скалярному произведению на себя: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Для диагонали $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Учитывая, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, получаем:

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Для диагонали $\vec{DB}$:

$|\vec{DB}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Аналогично:

$|\vec{DB}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Теперь сложим квадраты длин диагоналей:

$|\vec{AC}|^2 + |\vec{DB}|^2 = (|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2) + (|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2)$.

Раскроем скобки и сгруппируем члены:

$|\vec{AC}|^2 + |\vec{DB}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Члены с скалярным произведением $2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ взаимно уничтожаются:

$|\vec{AC}|^2 + |\vec{DB}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Сравнивая полученный результат с суммой квадратов длин сторон, мы видим:

Сумма квадратов длин диагоналей: $2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Сумма квадратов длин сторон: $2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Обе суммы равны, что доказывает требуемое утверждение.

Ответ:

Доказано, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон, используя векторный метод.

144. В окружность радиуса $R$ вписан равносторонний треугольник $ABC$. Найдите сумму $MA^2 + MB^2 + MC^2$, где $M$ – произвольная точка окружности.

Дано:

Окружность радиуса $R$.

Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в эту окружность.

$M$ - произвольная точка на окружности.

Найти:

Сумму $MA^2 + MB^2 + MC^2$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не требуются, так как $R$ - это радиус, и ответ будет выражен через $R^2$.

Решение:

Для решения задачи удобно использовать систему координат. Пусть центр окружности совпадает с началом координат $(0,0)$.

Так как треугольник $ABC$ равносторонний и вписан в окружность, его вершины можно представить как точки на окружности, равномерно распределенные по углу. Пусть радиус окружности равен $R$.

Расположим вершины треугольника следующим образом:

• $A = (R\cos(0), R\sin(0)) = (R, 0)$

• $B = (R\cos(2\pi/3), R\sin(2\pi/3)) = (-R/2, R\sqrt{3}/2)$

• $C = (R\cos(4\pi/3), R\sin(4\pi/3)) = (-R/2, -R\sqrt{3}/2)$

Пусть $M$ - произвольная точка на окружности с координатами $(x_M, y_M)$. Поскольку $M$ лежит на окружности радиуса $R$ с центром в начале координат, $x_M^2 + y_M^2 = R^2$. Мы можем параметризовать точку $M$ как $(R\cos\theta, R\sin\theta)$ для некоторого угла $\theta$.

Найдем квадраты расстояний от точки $M$ до вершин $A$, $B$, $C$ по формуле расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для $MA^2$:$MA^2 = (R\cos\theta - R)^2 + (R\sin\theta - 0)^2$$MA^2 = R^2(\cos^2\theta - 2\cos\theta + 1) + R^2\sin^2\theta$$MA^2 = R^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta - 2\cos\theta + 1)$Поскольку $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, получаем:$MA^2 = R^2(1 - 2\cos\theta + 1) = R^2(2 - 2\cos\theta)$

Для $MB^2$:$MB^2 = (R\cos\theta - R\cos(2\pi/3))^2 + (R\sin\theta - R\sin(2\pi/3))^2$$MB^2 = R^2[(\cos\theta - \cos(2\pi/3))^2 + (\sin\theta - \sin(2\pi/3))^2]$$MB^2 = R^2[\cos^2\theta - 2\cos\theta\cos(2\pi/3) + \cos^2(2\pi/3) + \sin^2\theta - 2\sin\theta\sin(2\pi/3) + \sin^2(2\pi/3)]$$MB^2 = R^2[2 - 2(\cos\theta\cos(2\pi/3) + \sin\theta\sin(2\pi/3))]$Используя формулу косинуса разности углов $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$:$MB^2 = R^2[2 - 2\cos(\theta - 2\pi/3)]$}

Для $MC^2$:$MC^2 = (R\cos\theta - R\cos(4\pi/3))^2 + (R\sin\theta - R\sin(4\pi/3))^2$Аналогично:$MC^2 = R^2[2 - 2\cos(\theta - 4\pi/3)]$

Теперь сложим эти выражения:

$S = MA^2 + MB^2 + MC^2$$S = R^2(2 - 2\cos\theta) + R^2(2 - 2\cos(\theta - 2\pi/3)) + R^2(2 - 2\cos(\theta - 4\pi/3))$$S = R^2[6 - 2(\cos\theta + \cos(\theta - 2\pi/3) + \cos(\theta - 4\pi/3))]$

Рассмотрим сумму косинусов: $\cos\theta + \cos(\theta - 2\pi/3) + \cos(\theta - 4\pi/3)$.

Используем формулу $\cos(X-Y) = \cos X \cos Y + \sin X \sin Y$:$\cos(\theta - 2\pi/3) = \cos\theta \cos(2\pi/3) + \sin\theta \sin(2\pi/3) = \cos\theta(-1/2) + \sin\theta(\sqrt{3}/2)$$\cos(\theta - 4\pi/3) = \cos\theta \cos(4\pi/3) + \sin\theta \sin(4\pi/3) = \cos\theta(-1/2) + \sin\theta(-\sqrt{3}/2)$

Сумма косинусов равна:$\cos\theta + (\cos\theta(-1/2) + \sin\theta(\sqrt{3}/2)) + (\cos\theta(-1/2) + \sin\theta(-\sqrt{3}/2))$$= \cos\theta - (1/2)\cos\theta + (\sqrt{3}/2)\sin\theta - (1/2)\cos\theta - (\sqrt{3}/2)\sin\theta = 0$

Таким образом, сумма косинусов равна нулю.

Подставим это значение в выражение для $S$:

$S = R^2[6 - 2(0)] = 6R^2$

Другой способ решения задачи - использование комплексных чисел.

Пусть центр окружности находится в начале координат комплексной плоскости. Вершины равностороннего треугольника $A, B, C$ и точка $M$ на окружности могут быть представлены комплексными числами $a, b, c, m$ соответственно. Модули этих комплексных чисел равны радиусу окружности: $|a|=|b|=|c|=|m|=R$.

Без потери общности, можно расположить вершины треугольника следующим образом:$a = R$$b = R e^{i 2\pi/3}$$c = R e^{i 4\pi/3}$

Точка $M$ может быть представлена как $m = R e^{i\theta}$ для некоторого угла $\theta$.

Требуется найти $MA^2 + MB^2 + MC^2$. В терминах комплексных чисел это $|m-a|^2 + |m-b|^2 + |m-c|^2$.

Напомним, что для комплексного числа $z$, $|z|^2 = z\bar{z}$.Тогда $|m-a|^2 = (m-a)(\bar{m}-\bar{a}) = m\bar{m} - m\bar{a} - a\bar{m} + a\bar{a} = |m|^2 + |a|^2 - (m\bar{a} + a\bar{m})$.Поскольку $|m|=R$ и $|a|=R$,$MA^2 = |m-a|^2 = R^2 + R^2 - (m\bar{a} + a\bar{m}) = 2R^2 - (m\bar{a} + a\bar{m})$

Аналогично:$MB^2 = |m-b|^2 = 2R^2 - (m\bar{b} + b\bar{m})$$MC^2 = |m-c|^2 = 2R^2 - (m\bar{c} + c\bar{m})$

Сложим эти выражения:$S = MA^2 + MB^2 + MC^2 = (2R^2 - (m\bar{a} + a\bar{m})) + (2R^2 - (m\bar{b} + b\bar{m})) + (2R^2 - (m\bar{c} + c\bar{m}))$$S = 6R^2 - (m\bar{a} + m\bar{b} + m\bar{c} + a\bar{m} + b\bar{m} + c\bar{m})$$S = 6R^2 - (m(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) + \bar{m}(a + b + c))$

Сумма вершин равностороннего треугольника, расположенного симметрично относительно начала координат, равна нулю. То есть $a+b+c = 0$.$a+b+c = R + R e^{i 2\pi/3} + R e^{i 4\pi/3} = R(1 + \cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3) + \cos(4\pi/3) + i\sin(4\pi/3))$$a+b+c = R(1 - 1/2 + i\sqrt{3}/2 - 1/2 - i\sqrt{3}/2) = R(0) = 0$

Следовательно, и сопряженная сумма $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c} = 0$.

Подставляем это в выражение для $S$:

$S = 6R^2 - (m(0) + \bar{m}(0))$$S = 6R^2 - 0$$S = 6R^2$

Оба метода дают один и тот же результат.

$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 6R^2$

145. Докажите, используя векторы, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Дано:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть $A$, $B$, $C$ - вершины треугольника, а $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ - их радиус-векторы относительно некоторого начала координат $O$.

Пусть $AD$, $BE$, $CF$ - высоты треугольника $ABC$, где $D$ лежит на $BC$, $E$ на $AC$, $F$ на $AB$. По определению, высота перпендикулярна соответствующей стороне.

Найти:

Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (ортоцентре).

Решение:

Пусть $H$ - точка пересечения двух высот, например, высоты $AD$ (из вершины $A$ к стороне $BC$) и высоты $BE$ (из вершины $B$ к стороне $AC$). Пусть $\vec{h}$ - радиус-вектор точки $H$.

Так как $AH$ является частью высоты $AD$, то вектор $\vec{AH}$ перпендикулярен вектору $\vec{BC}$.Это можно записать в виде скалярного произведения: $(\vec{h} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$. (1)

Так как $BH$ является частью высоты $BE$, то вектор $\vec{BH}$ перпендикулярен вектору $\vec{AC}$.Это можно записать в виде скалярного произведения: $(\vec{h} - \vec{b}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$. (2)

Раскроем скобки в уравнениях (1) и (2):
Из (1): $\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. (1')
Из (2): $\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$. (2')

Вычтем уравнение (2') из уравнения (1'):
$(\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$
$\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{h} \cdot \vec{c} + \vec{h} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$

Заметим, что $\vec{h} \cdot \vec{c}$ и $-\vec{h} \cdot \vec{c}$ взаимно уничтожаются. Также, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $-\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются, поскольку скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$).

Оставшиеся члены: $-\vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{h} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.

Перегруппируем члены:
$\vec{h} \cdot \vec{a} - \vec{h} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

Вынесем общие множители:
$\vec{h} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

Заметим, что $\vec{b} - \vec{a} = -(\vec{a} - \vec{b})$. Подставим это:
$\vec{h} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Вынесем общий множитель $(\vec{a} - \vec{b})$:
$(\vec{h} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Это уравнение означает, что вектор $\vec{CH}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. То есть, прямая $CH$ является высотой, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$.

Поскольку $CH$ проходит через точку $H$, которая является точкой пересечения двух других высот $AD$ и $BE$, это доказывает, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, что следует из векторного равенства $(\vec{h} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$, полученного из условий перпендикулярности двух других высот.

146. В окружности с центром $O$ проведены две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$. Докажите, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OK}$.

Дано:

Окружность с центром $O$.

Две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$.

Хорды перпендикулярны: $AB \perp CD$.

Найти:

Доказать, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OK}$.

Решение:

Пусть $M$ — середина хорды $AB$, а $N$ — середина хорды $CD$.

По свойству окружности, радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Следовательно, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде.

Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

Вектор суммы радиус-векторов, проведенных к концам хорды, равен удвоенному вектору, проведенному к ее середине. Это следует из правила сложения векторов и определения середины отрезка:

$\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$ (поскольку $M$ — середина $AB$)

$\vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{ON}$ (поскольку $N$ — середина $CD$)

Сложим эти два векторных равенства:

$(\vec{OA} + \vec{OB}) + (\vec{OC} + \vec{OD}) = 2\vec{OM} + 2\vec{ON}$

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2(\vec{OM} + \vec{ON})$

Теперь рассмотрим четырехугольник $OMKN$.

Нам дано, что хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны: $AB \perp CD$.

Так как $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$, и при этом $AB \perp CD$, то линии $OM$ и $ON$ также перпендикулярны друг другу. Следовательно, $\angle MON = 90^\circ$.

Поскольку $OM \perp AB$ и точка $M$ лежит на $AB$, а $K$ также лежит на $AB$, то $OM \perp MK$. Это означает, что $\angle OMK = 90^\circ$.

Аналогично, поскольку $ON \perp CD$ и точка $N$ лежит на $CD$, а $K$ также лежит на $CD$, то $ON \perp NK$. Это означает, что $\angle ONK = 90^\circ$.

Точка $K$ — это точка пересечения хорд $AB$ и $CD$. Так как $AB \perp CD$, то угол между ними в точке $K$ составляет $90^\circ$. Следовательно, $\angle MKN = 90^\circ$.

Итак, в четырехугольнике $OMKN$ три угла прямые: $\angle OMK = 90^\circ$, $\angle ONK = 90^\circ$, $\angle MKN = 90^\circ$. Четырехугольник, у которого три угла прямые, является прямоугольником. Следовательно, $OMKN$ — прямоугольник.

По свойству прямоугольника (и любого параллелограмма), вектор диагонали, выходящей из вершины $O$, равен сумме векторов смежных сторон, выходящих из той же вершины:

$\vec{OK} = \vec{OM} + \vec{ON}$

Подставим это выражение в ранее полученное равенство:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2(\vec{OM} + \vec{ON}) = 2\vec{OK}$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OK}$.

147. Даны точки A и B. Постройте фигуру, состоящую из множества всех точек X, таких, что:

а) $|\vec{XA} + \vec{XB}| = |\vec{XA} - \vec{XB}|$;

б) $|\vec{AB} - \vec{AX}| = |\vec{AB}|$;

в) $|\vec{BA} + \vec{AX}| = |\vec{AX}|$.

Дано:

Даны точки $A$ и $B$.

Найти:

Построить фигуру, состоящую из множества всех точек $X$, удовлетворяющих заданным условиям.

Решение:

а) $| \vec{XA} + \vec{XB} | = | \vec{XA} - \vec{XB} |$

Пусть $M$ – середина отрезка $AB$. По свойству сложения векторов для любой точки $X$ справедливо соотношение: $ \vec{XA} + \vec{XB} = 2 \vec{XM} $.

Разность векторов $ \vec{XA} - \vec{XB} $ может быть переписана как $ \vec{XA} + \vec{BX} $. По правилу треугольника (или правилу Шаля) $ \vec{BX} + \vec{XA} = \vec{BA} $.

Подставляем эти векторные выражения в исходное уравнение:

$ |2 \vec{XM}| = |\vec{BA}| $

Используя свойство длины вектора ($ |k \vec{v}| = |k| |\vec{v}| $) и то, что длина вектора $ |\vec{BA}| $ равна длине отрезка $AB$:

$ 2 |\vec{XM}| = AB $

$ 2 \cdot XM = AB $

Отсюда находим расстояние от точки $X$ до точки $M$:

$ XM = \frac{1}{2} AB $

Это означает, что все точки $X$ находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки $M$ (середины отрезка $AB$). Множество таких точек образует окружность.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом, равным половине длины отрезка $AB$.

б) $| \vec{AB} - \vec{AX} | = | \vec{AB} |$

Рассмотрим выражение в левой части уравнения: $ \vec{AB} - \vec{AX} $. Используя правило вычитания векторов (или представление векторов через разность радиус-векторов, например, $ \vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} $), получаем:

$ \vec{AB} - \vec{AX} = (\vec{B} - \vec{A}) - (\vec{X} - \vec{A}) = \vec{B} - \vec{A} - \vec{X} + \vec{A} = \vec{B} - \vec{X} $

Вектор $ \vec{B} - \vec{X} $ это вектор $ \vec{XB} $.

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$ |\vec{XB}| = |\vec{AB}| $

Это означает, что длина вектора $ \vec{XB} $ равна длине вектора $ \vec{AB} $. В терминах расстояний между точками:

$ XB = AB $

Следовательно, точка $X$ находится на постоянном расстоянии от точки $B$, причем это расстояние равно длине отрезка $AB$. Множество таких точек образует окружность.

Ответ: Окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.

в) $| \vec{BA} + \vec{AX} | = | \vec{AX} |$

Рассмотрим выражение в левой части уравнения: $ \vec{BA} + \vec{AX} $. По правилу сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля), если конец одного вектора совпадает с началом другого, то их сумма – это вектор, идущий от начала первого к концу второго. В данном случае:

$ \vec{BA} + \vec{AX} = \vec{BX} $

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$ |\vec{BX}| = |\vec{AX}| $

Это означает, что длина вектора $ \vec{BX} $ равна длине вектора $ \vec{AX} $. В терминах расстояний между точками:

$ BX = AX $

Следовательно, точка $X$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Множество всех точек, равноудаленных от двух заданных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

148. 1A) На тело действовали силы $F_1$ и $F_2$, как показано на рисунке 81. Постройте равнодействующую этих сил.

Рисунок 81

2A) Дан отрезок $AB = 4$ см и точка C, принадлежащая ему. Постройте вектор $\vec{CK} = \frac{3}{2}\vec{AB}$.

3В) Дан параллелограмм ABCD и точки K и M на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно такие, что $AK = KB$, а $CM : MD = 2 : 3$. Разложите вектор $\vec{KM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

4В) Найдите угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если известны координаты точек: $A(0; -2)$, $B(-2\sqrt{3}; 0)$, $C(1; 1,5)$, $D(5; 1,5)$.

5С) Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $B(4; 2)$ и перпендикулярной вектору $\vec{a}(3; -5)$.

1A) Для построения равнодействующей силы $F$ (векторной суммы $F_1 + F_2$) можно использовать правило параллелограмма или правило треугольника. Один из способов, используя правило треугольника: Начните с произвольной точки на плоскости (начало отсчета). От этой точки отложите вектор $F_1$ в соответствии с его направлением и длиной, как показано на рисунке 81 (вертикально вниз на 3 единицы по сетке). Затем, от конца (головы) вектора $F_1$ отложите вектор $F_2$ в соответствии с его направлением и длиной, как показано на рисунке 81 (4 единицы вправо и 2 единицы вверх по сетке). Равнодействующая сила $F$ будет представлять собой вектор, проведенный от начала вектора $F_1$ до конца (головы) вектора $F_2$. Если представить векторы в координатной форме (предполагая начало $F_1$ в точке $(0,0)$): $F_1 = (0, -3)$, $F_2 = (4, 2)$. Тогда равнодействующая $F = F_1 + F_2 = (0+4, -3+2) = (4, -1)$. Это означает, что равнодействующий вектор $F$ направлен на 4 единицы вправо и на 1 единицу вниз от общей начальной точки. Ответ: Равнодействующая сила $F$ строится как векторная сумма $F_1$ и $F_2$ по правилу треугольника или параллелограмма.

2A) Для построения вектора $\vec{CK}$ выполните следующие шаги: Начертите отрезок $AB$ длиной 4 см. Выберите произвольную точку $C$ на плоскости. Поскольку коэффициент $\frac{3}{2}$ положительный, вектор $\vec{CK}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{AB}$. Длина (модуль) вектора $\vec{CK}$ будет в $\frac{3}{2}$ раза больше длины отрезка $AB$: $|\vec{CK}| = \frac{3}{2} \cdot |\vec{AB}| = \frac{3}{2} \cdot 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Таким образом, отложите от точки $C$ вектор длиной 6 см в том же направлении, что и вектор $\vec{AB}$. Конечная точка этого вектора будет точкой $K$. Ответ: Вектор $\vec{CK}$ строится из точки $C$ в направлении вектора $\vec{AB}$ и имеет длину 6 см.

3B)Дано:
Параллелограмм $ABCD$.
Точка $K$ на стороне $AB$ такая, что $AK = KB$.
Точка $M$ на стороне $CD$ такая, что $CM : MD = 2 : 3$.
Найти: Разложить вектор $\vec{KM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.
Решение:
Поскольку $K$ является серединой стороны $AB$ (из условия $AK = KB$), вектор $\vec{AK}$ можно выразить как половину вектора $\vec{AB}$: $\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB}$
Точка $M$ лежит на стороне $CD$ и делит ее в отношении $CM : MD = 2 : 3$. Это означает, что отрезок $CD$ состоит из $2+3=5$ равных частей, из которых $MD$ составляет 3 части. Следовательно, вектор $\vec{DM}$ составляет $\frac{3}{5}$ от вектора $\vec{DC}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{DC}$ равен вектору $\vec{AB}$ (как по длине, так и по направлению). Таким образом, $\vec{DM} = \frac{3}{5}\vec{DC} = \frac{3}{5}\vec{AB}$.
Вектор $\vec{KM}$ можно разложить, используя правило треугольника или вычитание векторов положения относительно общей точки (например, $A$): $\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK}$
Вектор $\vec{AM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DM}$: $\vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM}$
Подставим полученные выражения для $\vec{AK}$ и $\vec{DM}$ в формулу для $\vec{KM}$: $\vec{KM} = (\vec{AD} + \frac{3}{5}\vec{AB}) - \frac{1}{2}\vec{AB}$
Сгруппируем члены, содержащие вектор $\vec{AB}$: $\vec{KM} = \vec{AD} + (\frac{3}{5} - \frac{1}{2})\vec{AB}$
Выполним вычитание дробей: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6}{10} - \frac{5}{10} = \frac{1}{10}$
Окончательное разложение вектора $\vec{KM}$ по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$: $\vec{KM} = \frac{1}{10}\vec{AB} + \vec{AD}$
Ответ: $\vec{KM} = \frac{1}{10}\vec{AB} + \vec{AD}$.

4B)Дано:
Координаты точек: $A(0; -2)$, $B(-2\sqrt{3}; 0)$, $C(1; 1.5)$, $D(5; 1.5)$.
Найти: Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
Решение:
Сначала найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из координат конечной точки.
$\vec{AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y) = (-2\sqrt{3} - 0; 0 - (-2)) = (-2\sqrt{3}; 2)$
$\vec{CD} = (D_x - C_x; D_y - C_y) = (5 - 1; 1.5 - 1.5) = (4; 0)$
Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используется формула скалярного произведения: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$
Отсюда, $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-2\sqrt{3})(4) + (2)(0) = -8\sqrt{3} + 0 = -8\sqrt{3}$
Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (2)^2} = \sqrt{(4 \cdot 3) + 4} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$
$|\vec{CD}| = \sqrt{(4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4$
Теперь подставим вычисленные значения в формулу для $\cos\theta$: $\cos\theta = \frac{-8\sqrt{3}}{4 \cdot 4} = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Угол $\theta$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $150^\circ$ (или $\frac{5\pi}{6}$ радиан). Ответ: Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен $150^\circ$.

5C)Дано:
Точка $B(4; 2)$.
Вектор $\vec{a}(3; -5)$.
Найти: Уравнение прямой, проходящей через точку $B$ и перпендикулярной вектору $\vec{a}$.
Решение:
Если прямая перпендикулярна вектору $\vec{a}(3; -5)$, то вектор $\vec{a}$ является нормальным вектором для этой прямой. Общее уравнение прямой задается формулой $Ax + By + C = 0$, где $(A; B)$ - координаты нормального вектора к прямой. В данном случае, нормальный вектор $\vec{n} = \vec{a} = (3; -5)$. Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид: $3x - 5y + C = 0$
Чтобы найти значение $C$, подставим координаты точки $B(4; 2)$, через которую проходит прямая, в это уравнение: $3(4) - 5(2) + C = 0$
$12 - 10 + C = 0$
$2 + C = 0$
$C = -2$
Таким образом, уравнение прямой: $3x - 5y - 2 = 0$
Ответ: $3x - 5y - 2 = 0$.