Номер 146, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

146. В окружности с центром $O$ проведены две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$. Докажите, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OK}$.

Дано:

Окружность с центром $O$.

Две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$.

Хорды перпендикулярны: $AB \perp CD$.

Найти:

Доказать, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OK}$.

Решение:

Пусть $M$ — середина хорды $AB$, а $N$ — середина хорды $CD$.

По свойству окружности, радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Следовательно, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде.

Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

Вектор суммы радиус-векторов, проведенных к концам хорды, равен удвоенному вектору, проведенному к ее середине. Это следует из правила сложения векторов и определения середины отрезка:

$\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$ (поскольку $M$ — середина $AB$)

$\vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{ON}$ (поскольку $N$ — середина $CD$)

Сложим эти два векторных равенства:

$(\vec{OA} + \vec{OB}) + (\vec{OC} + \vec{OD}) = 2\vec{OM} + 2\vec{ON}$

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2(\vec{OM} + \vec{ON})$

Теперь рассмотрим четырехугольник $OMKN$.

Нам дано, что хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны: $AB \perp CD$.

Так как $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$, и при этом $AB \perp CD$, то линии $OM$ и $ON$ также перпендикулярны друг другу. Следовательно, $\angle MON = 90^\circ$.

Поскольку $OM \perp AB$ и точка $M$ лежит на $AB$, а $K$ также лежит на $AB$, то $OM \perp MK$. Это означает, что $\angle OMK = 90^\circ$.

Аналогично, поскольку $ON \perp CD$ и точка $N$ лежит на $CD$, а $K$ также лежит на $CD$, то $ON \perp NK$. Это означает, что $\angle ONK = 90^\circ$.

Точка $K$ — это точка пересечения хорд $AB$ и $CD$. Так как $AB \perp CD$, то угол между ними в точке $K$ составляет $90^\circ$. Следовательно, $\angle MKN = 90^\circ$.

Итак, в четырехугольнике $OMKN$ три угла прямые: $\angle OMK = 90^\circ$, $\angle ONK = 90^\circ$, $\angle MKN = 90^\circ$. Четырехугольник, у которого три угла прямые, является прямоугольником. Следовательно, $OMKN$ — прямоугольник.

По свойству прямоугольника (и любого параллелограмма), вектор диагонали, выходящей из вершины $O$, равен сумме векторов смежных сторон, выходящих из той же вершины:

$\vec{OK} = \vec{OM} + \vec{ON}$

Подставим это выражение в ранее полученное равенство:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2(\vec{OM} + \vec{ON}) = 2\vec{OK}$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 2\vec{OK}$.