Номер 150, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

150. В $\triangle ABC \angle C = 100^\circ$, $AC = 3$ см, $BC = 4$ см. Постройте $\triangle ABC$ и его образ при осевой симметрии относительно прямой, содержащей его:

a) медиану $AM$;

б) высоту $AH$.

Дано:

Треугольник $ABC$, где $\angle C = 100^\circ$, $AC = 3 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$AC = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$BC = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$\angle C = 100^\circ$ (для геометрических построений в данном случае перевод в радианы не требуется).

Найти:

Построить $\triangle ABC$ и его образ при осевой симметрии относительно прямой, содержащей:

а) медиану $AM$;

б) высоту $AH$.

Решение:

Построение треугольника $ABC$:

1. Начертите луч $CX$.

2. Отложите на луче $CX$ от точки $C$ отрезок $CB = 4 \text{ см}$. Точка $B$ - конец этого отрезка.

3. С помощью транспортира или циркуля и линейки постройте угол $\angle YCB = 100^\circ$ с вершиной в точке $C$ и одной из сторон $CB$. Луч $CY$ будет второй стороной угла.

4. Отложите на луче $CY$ от точки $C$ отрезок $CA = 3 \text{ см}$. Точка $A$ - конец этого отрезка.

5. Соедините точки $A$ и $B$ отрезком. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

а) медиану $AM$

Построение медианы $AM$ и образа $\triangle ABC$ при симметрии относительно прямой, содержащей $AM$:

1. Найдите середину $M$ отрезка $BC$. Для этого из точек $B$ и $C$ проведите две окружности (или дуги) одинакового радиуса (большего половины длины $BC$) так, чтобы они пересеклись в двух точках. Соедините эти точки прямой. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $BC$ и пересечет $BC$ в его середине $M$.

2. Соедините вершину $A$ с точкой $M$. Отрезок $AM$ является медианой. Прямая, содержащая медиану $AM$, будет осью симметрии.

3. Для построения образа $\triangle A'B'C'$ при осевой симметрии относительно прямой $AM$:

   • Точка $A$ лежит на оси симметрии $AM$, поэтому ее образ $A'$ совпадает с $A$.

   • Точка $M$ лежит на оси симметрии $AM$, поэтому ее образ $M'$ совпадает с $M$.

   • Для построения образа $C'$ точки $C$: Проведите прямую, проходящую через $C$ и перпендикулярную прямой $AM$. Обозначьте точку пересечения перпендикуляра с прямой $AM$ как $K$. Отложите на этой перпендикулярной прямой от точки $K$ отрезок $KC'$ равный $CK$ по другую сторону от $AM$ относительно $C$. Точка $C'$ является образом $C$.

   • Для построения образа $B'$ точки $B$: Аналогично, проведите прямую, проходящую через $B$ и перпендикулярную прямой $AM$. Обозначьте точку пересечения перпендикуляра с прямой $AM$ как $L$. Отложите на этой перпендикулярной прямой от точки $L$ отрезок $LB'$ равный $BL$ по другую сторону от $AM$ относительно $B$. Точка $B'$ является образом $B$.

4. Соедините полученные точки $A'$, $B'$, $C'$ отрезками. Треугольник $\triangle A'B'C'$ является образом $\triangle ABC$ при осевой симметрии относительно прямой, содержащей медиану $AM$.

Ответ: Описано построение треугольника $ABC$ и его образа при осевой симметрии относительно прямой, содержащей медиану $AM$.

б) высоту $AH$

Построение высоты $AH$ и образа $\triangle ABC$ при симметрии относительно прямой, содержащей $AH$:

1. Поскольку угол $C = 100^\circ$ (тупой), высота $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$ будет падать на продолжение стороны $BC$ за точку $C$.

2. Продлите отрезок $BC$ за точку $C$, чтобы получить прямую, содержащую $BC$.

3. Из точки $A$ опустите перпендикуляр на прямую, содержащую отрезок $BC$. Для этого:

   • Поставьте циркуль в точку $A$ и проведите дугу, пересекающую прямую $BC$ (или ее продолжение) в двух точках (например, $P$ и $Q$).

   • Из точек $P$ и $Q$ проведите две дуги одинакового, достаточно большого радиуса, которые пересекутся по другую сторону от прямой $BC$ (или с той же стороны, но дальше от $A$).

   • Соедините точку $A$ с точкой пересечения этих дуг. Эта прямая будет перпендикулярна прямой $BC$. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $BC$ (или ее продолжением) является основанием высоты $H$. Отрезок $AH$ - высота.

4. Прямая, содержащая высоту $AH$, будет осью симметрии.

5. Для построения образа $\triangle A'B'C'$ при осевой симметрии относительно прямой $AH$:

   • Точка $A$ лежит на оси симметрии $AH$, поэтому ее образ $A'$ совпадает с $A$.

   • Точка $H$ лежит на оси симметрии $AH$, поэтому ее образ $H'$ совпадает с $H$.

   • Для построения образа $B'$ точки $B$: Проведите прямую, проходящую через $B$ и перпендикулярную прямой $AH$. Обозначьте точку пересечения перпендикуляра с прямой $AH$ как $K$. Отложите на этой перпендикулярной прямой от точки $K$ отрезок $KB'$ равный $BK$ по другую сторону от $AH$ относительно $B$. Точка $B'$ является образом $B$.

   • Для построения образа $C'$ точки $C$: Аналогично, проведите прямую, проходящую через $C$ и перпендикулярную прямой $AH$. Обозначьте точку пересечения перпендикуляра с прямой $AH$ как $L$. Отложите на этой перпендикулярной прямой от точки $L$ отрезок $LC'$ равный $CL$ по другую сторону от $AH$ относительно $C$. Точка $C'$ является образом $C$.

6. Соедините полученные точки $A'$, $B'$, $C'$ отрезками. Треугольник $\triangle A'B'C'$ является образом $\triangle ABC$ при осевой симметрии относительно прямой, содержащей высоту $AH$.

Ответ: Описано построение треугольника $ABC$ и его образа при осевой симметрии относительно прямой, содержащей высоту $AH$.