Вопросы, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Объясните, что такое преобразование плоскости.

2. Какое преобразование плоскости называется движением?

3. Какие свойства движения вы знаете?

4. Какие две точки называются симметричными:

а) относительно данной точки;

б) относительно данной прямой?

5. Какое преобразование называется:

а) центральной симметрией;

б) осевой симметрией?

6. Дайте определение понятия:

а) параллельный перенос;

б) поворот около данной точки.

7. Докажите, что движением является каждое из следующих преобразований:

а) центральная симметрия;

б) осевая симметрия;

в) параллельный перенос;

г) поворот около данной точки.

1. Объясните, что такое преобразование плоскости.

Преобразование плоскости (или отображение плоскости в себя) — это взаимно однозначное соответствие, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие некоторую точку этой же плоскости. При этом каждая точка плоскости является образом некоторой точки, и для каждой точки существует единственная точка-образ.

Ответ:

2. Какое преобразование плоскости называется движением?

Преобразование плоскости называется движением (или изометрией), если оно сохраняет расстояния между точками. То есть, если для любых двух точек $A$ и $B$ плоскости, и их образов $A'$ и $B'$ при данном преобразовании, выполняется равенство расстояний $AB = A'B'$.

Ответ:

3. Какие свойства движения вы знаете?

Движение обладает следующими свойствами: оно переводит прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок; оно сохраняет расстояния между точками, то есть $AB = A'B'$; оно сохраняет величину углов, то есть угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между их образами; оно переводит параллельные прямые в параллельные прямые; оно переводит любую фигуру в равную ей фигуру.

Ответ:

4. Какие две точки называются симметричными: а) относительно данной точки; б) относительно данной прямой?

а) относительно данной точки

Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно данной точки $O$ (центра симметрии), если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. То есть, точка $A'$ лежит на прямой $AO$ по другую сторону от $O$ на расстоянии $OA$. Векторно это можно записать как $\vec{OA'} = -\vec{OA}$.

б) относительно данной прямой

Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно данной прямой $l$ (оси симметрии), если прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$, и точка пересечения отрезка $AA'$ с прямой $l$ является серединой этого отрезка.

Ответ:

5. Какое преобразование называется: а) центральной симметрией; б) осевой симметрией?

а) центральной симметрией

Преобразование плоскости, при котором каждая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что заданная точка $O$ (центр симметрии) является серединой отрезка $PP'$, называется центральной симметрией относительно точки $O$.

б) осевой симметрией

Преобразование плоскости, при котором каждая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что заданная прямая $l$ (ось симметрии) является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$, называется осевой симметрией относительно прямой $l$.

Ответ:

6. Дайте определение понятия: а) параллельный перенос; б) поворот около данной точки.

а) параллельный перенос

Параллельным переносом называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $X$ переходит в точку $X'$ таким образом, что вектор $\vec{XX'}$ равен заданному ненулевому вектору $\vec{v}$. То есть, для любой точки $X$, её образ $X'$ определяется равенством $\vec{OX'} = \vec{OX} + \vec{v}$.

б) поворот около данной точки

Поворотом плоскости вокруг данной точки $O$ (центра поворота) на данный угол $\alpha$ называется такое преобразование, при котором каждая точка $X$ плоскости переходит в точку $X'$ таким образом, что: 1) $OX = OX'$; 2) угол поворота $\angle XOX'$ равен $\alpha$, и отсчитывается в заданном направлении (по часовой стрелке или против).

Ответ:

7. Докажите, что движением является каждое из следующих преобразований: а) центральная симметрия; б) осевая симметрия; в) параллельный перенос; г) поворот около данной точки.

а) центральная симметрия

Решение

Пусть $S_O$ — центральная симметрия относительно точки $O$. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на плоскости. Пусть $A' = S_O(A)$ и $B' = S_O(B)$ — их образы. По определению центральной симметрии, $O$ является серединой отрезков $AA'$ и $BB'$. Это означает, что $\vec{OA'} = -\vec{OA}$ и $\vec{OB'} = -\vec{OB}$. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно длине вектора $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$. Расстояние между точками $A'$ и $B'$ равно длине вектора $\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'}$. Подставляя выражения для $\vec{OA'}$ и $\vec{OB'}$: $\vec{A'B'} = (-\vec{OB}) - (-\vec{OA}) = \vec{OA} - \vec{OB} = -(\vec{OB} - \vec{OA}) = -\vec{AB}$. Тогда длина отрезка $A'B'$ равна $||\vec{A'B'}|| = ||-\vec{AB}|| = ||\vec{AB}||$. Следовательно, $A'B' = AB$. Таким образом, центральная симметрия сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ:

б) осевая симметрия

Решение

Пусть $S_l$ — осевая симметрия относительно прямой $l$. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на плоскости. Пусть $A' = S_l(A)$ и $B' = S_l(B)$ — их образы. Если точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l$, то $A' = A$ и $B' = B$. Очевидно, $A'B' = AB$. Если хотя бы одна из точек не лежит на прямой $l$, то рассмотрим их координаты. Пусть ось симметрии $l$ совпадает с осью $Ox$. Тогда для точки $A=(x_A, y_A)$ её образ $A'$ будет $A'=(x_A, -y_A)$. Аналогично для точки $B=(x_B, y_B)$ её образ $B'$ будет $B'=(x_B, -y_B)$. Квадрат расстояния между $A$ и $B$ равен $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$. Квадрат расстояния между $A'$ и $B'$ равен $A'B'^2 = (x_B - x_A)^2 + (-y_B - (-y_A))^2 = (x_B - x_A)^2 + (-(y_B - y_A))^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$. Так как $A'B'^2 = AB^2$, то $A'B' = AB$. Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ:

в) параллельный перенос

Решение

Пусть $T_{\vec{v}}$ — параллельный перенос на вектор $\vec{v}$. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на плоскости. Пусть $A' = T_{\vec{v}}(A)$ и $B' = T_{\vec{v}}(B)$ — их образы. По определению параллельного переноса: $\vec{A'} = \vec{A} + \vec{v}$ $\vec{B'} = \vec{B} + \vec{v}$ Тогда вектор, соединяющий образы точек, равен: $\vec{A'B'} = \vec{B'} - \vec{A'} = (\vec{B} + \vec{v}) - (\vec{A} + \vec{v}) = \vec{B} - \vec{A} = \vec{AB}$. Поскольку векторы $\vec{A'B'}$ и $\vec{AB}$ равны, их длины тоже равны: $A'B' = AB$. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ:

г) поворот около данной точки

Решение

Пусть $R_{O, \alpha}$ — поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на плоскости. Пусть $A' = R_{O, \alpha}(A)$ и $B' = R_{O, \alpha}(B)$ — их образы. По определению поворота: 1. $OA = OA'$ (расстояние от центра поворота до точки равно расстоянию до её образа). 2. $OB = OB'$ (расстояние от центра поворота до точки равно расстоянию до её образа). 3. $\angle AOA' = \alpha$ (угол поворота для точки $A$). 4. $\angle BOB' = \alpha$ (угол поворота для точки $B$). Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$. У нас есть $OA = OA'$ и $OB = OB'$. Угол $\angle A'OB'$ получается из угла $\angle AOB$ поворотом на угол $\alpha$. Поэтому величина угла сохраняется: $\angle AOB = \angle A'OB'$. (Это можно показать, например, так: $\angle A'OB' = \angle A'OA + \angle AOB'$ (если лучи $OA'$ и $OB$ лежат по разные стороны от $OA$), или $\angle A'OB' = \angle AOB - \angle AOA' + \angle BOB'$ (если лучи $OA'$ и $OB'$ лежат в одном направлении поворота). В любом случае, при повороте все углы сохраняют свою величину, а значит $\angle AOB$ переходит в равный ему $\angle A'OB'$). Итак, в треугольниках $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$ мы имеем две равные стороны ($OA=OA'$, $OB=OB'$) и равный угол между ними ($\angle AOB = \angle A'OB'$). По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), $\triangle OAB \cong \triangle OA'B'$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = A'B'$. Таким образом, поворот сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ: