Номер 151, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

151. При симметрии относительно прямой, проходящей через вершину $A$ треугольника $ABC$, точка $B$ отображается на точку $C$. Докажите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.

Дано:

треугольник $\triangle ABC$;

прямая $l$ проходит через вершину $A$;

симметрия относительно прямой $l$ отображает точку $B$ на точку $C$.

Найти:

доказать, что $\triangle ABC$ — равнобедренный.

Решение:

Пусть $l$ — прямая, относительно которой производится симметрия.

По условию, прямая $l$ проходит через вершину $A$ треугольника $ABC$. Это означает, что точка $A$ лежит на оси симметрии $l$.

Свойство осевой симметрии заключается в том, что любая точка, лежащая на оси симметрии, отображается сама в себя. Следовательно, при симметрии относительно прямой $l$, точка $A$ отображается в точку $A$ ($A \rightarrow A$).

По условию, при симметрии относительно прямой $l$, точка $B$ отображается на точку $C$ ($B \rightarrow C$).

Осевая симметрия является движением (изометрией), а любое движение сохраняет расстояния между точками. Это означает, что расстояние между двумя точками равно расстоянию между их образами.

Рассмотрим отрезок $AB$. Точка $A$ отображается в $A$, а точка $B$ отображается в $C$. Следовательно, отрезок $AB$ отображается в отрезок $AC$.

Из свойства сохранения расстояний при симметрии следует, что длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $AC$. То есть, $AB = AC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным треугольником. В данном случае, стороны $AB$ и $AC$ равны.

Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $AC$.

Ответ:

треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным, так как при симметрии относительно прямой, проходящей через вершину $A$ и отображающей $B$ в $C$, сохраняется расстояние $AB = AC$.