Номер 158, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

158. a) Даны прямая и две точки $A$ и $B$, расположенные по одну сторону от нее. Найдите на прямой такую точку $C$, чтобы треугольник $ABC$ имел наименьший периметр.

б) Пластинка имеет форму остроугольного треугольника. Как разрезать ее на три части, из которых можно составить прямоугольник?

а)

Дано: Прямая $L$, две точки $A$ и $B$, расположенные по одну сторону от прямой $L$.

Найти: Точку $C$ на прямой $L$, такую чтобы периметр треугольника $ABC$ был наименьшим.

Решение

Периметр треугольника $ABC$ определяется как сумма длин его сторон: $P = AC + BC + AB$.

Поскольку точки $A$ и $B$ фиксированы, длина отрезка $AB$ является постоянной величиной. Следовательно, для минимизации периметра $P$ необходимо минимизировать сумму длин отрезков $AC + BC$.

Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $L$. По свойству осевой симметрии, расстояние от любой точки $C$ на прямой $L$ до точки $A$ равно расстоянию от этой точки $C$ до ее симметричного образа $A'$: $AC = A'C$.

Таким образом, задача сводится к минимизации суммы $A'C + BC$. Из аксиомы треугольника (или свойства кратчайшего расстояния между двумя точками) известно, что сумма длин двух отрезков, соединяющих две фиксированные точки с точкой на прямой, будет наименьшей, если все три точки лежат на одной прямой. Точки $A'$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $L$ (поскольку $A$ и $B$ находятся по одну сторону, а $A'$ симметрична $A$ относительно $L$). Следовательно, отрезок $A'B$ пересекает прямую $L$ в единственной точке.

Искомая точка $C$ является точкой пересечения прямой $L$ с отрезком $A'B$. В этой точке сумма $A'C + BC$ будет минимальной, так как $A'C + BC = A'B$ (длина прямой линии).

Ответ: Точка $C$ является точкой пересечения прямой $L$ с отрезком, соединяющим одну из данных точек (например, $B$) с точкой $A'$, симметричной другой данной точке ($A$) относительно прямой $L$.

б)

Решение

Для остроугольного треугольника $ABC$ можно использовать следующий способ разрезания на три части, из которых можно составить прямоугольник:

1. Опустите высоту $AD$ из вершины $A$ на сторону $BC$. Поскольку треугольник остроугольный, основание высоты $D$ лежит между точками $B$ и $C$.
2. Найдите середину $M$ высоты $AD$.
3. Проведите прямую через точку $M$, параллельную стороне $BC$. Пусть эта прямая пересечет стороны $AB$ в точке $P$ и $AC$ в точке $Q$. Это будет первый разрез. Этот разрез делит треугольник $ABC$ на две части: меньший треугольник $APQ$ и трапецию $PBCQ$.
4. Из точки $P$ (на стороне $AB$) опустите перпендикуляр на сторону $BC$. Пусть он пересечет $BC$ в точке $E$. Это будет второй разрез. Он выделяет прямоугольный треугольник $BPE$.
5. Из точки $Q$ (на стороне $AC$) опустите перпендикуляр на сторону $BC$. Пусть он пересечет $BC$ в точке $F$. Это будет третий разрез. Он выделяет прямоугольный треугольник $CQF$.

В результате этих разрезов исходный остроугольный треугольник $ABC$ будет разделен на три части:

• Часть 1: Треугольник $APQ$.
• Часть 2: Треугольник $BPE$.
• Часть 3: Четырехугольник $PEFC$. (Эта часть состоит из прямоугольника $PEFM$ и треугольника $CQF$, где $M$ - точка на $AD$, $P,Q$ на $AB,AC$. Для ясности: это трапеция $PQFE$ и треугольник $CQF$. Но $P,Q$ на $AB,AC$, а $M$ на $AD$. Точки $E,F$ на $BC$. Тогда $PEFQ$ является прямоугольником с высотой $PM = QF = AD/2$.)

Для составления прямоугольника из этих трех частей:

• Положите прямоугольник $PEFQ$ как центральную часть. Его высота равна $AD/2$.
• Треугольник $BPE$ переместите так, чтобы его катет $PE$ совпал с одной из вертикальных сторон прямоугольника $PEFQ$, а вершина $B$ легла на линию, продолжающую верхнюю сторону $PQ$.
• Треугольник $CQF$ переместите так, чтобы его катет $QF$ совпал с другой вертикальной стороной прямоугольника $PEFQ$, а вершина $C$ легла на линию, продолжающую верхнюю сторону $PQ$.
• Треугольник $APQ$ разверните на $180^\circ$ и положите его между треугольниками $BPE$ и $CQF$ на верхнюю сторону прямоугольника $PEFQ$. Так как $PQ = BC/2$ (свойство средней линии треугольника $AB'C'$ где $B',C'$ находятся на $AB,AC$ и $M$ - середина $AD$), и $PEFQ$ - это прямоугольник с длиной $EF$ и высотой $AD/2$, то части точно сойдутся, образуя прямоугольник с высотой $AD/2$ и длиной $BC$.

Ответ: Пластинку следует разрезать тремя разрезами: первым разрезом провести линию через середину высоты, параллельную основанию; вторым и третьим разрезами провести перпендикуляры от концов первой линии до основания. Получившиеся три части: верхний маленький треугольник, один из образовавшихся по бокам маленьких прямоугольных треугольников, и оставшаяся составная часть (центральный прямоугольник, примыкающий к основанию, с присоединенным вторым маленьким прямоугольным треугольником) могут быть перегруппированы в прямоугольник.