Номер 160, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Рисунок 102

160. По одну сторону от железной дороги расположены два пункта $A$ и $B$. Где надо расположить платформу $MK$ вдоль железной дороги, чтобы длина дороги $AMKB$ была наименьшей?

Дано:

Два пункта $A$ и $B$ расположены по одну сторону от железной дороги.

Платформа $МК$ должна быть расположена вдоль железной дороги.

Найти:

Местоположение платформы $МК$ (точки $М$ и $К$) такое, чтобы длина дороги $АМКВ$ была наименьшей.

Решение:

Пусть железная дорога представляет собой прямую на плоскости. Без потери общности, примем эту прямую за ось абсцисс ($y=0$). Пусть координаты пунктов $A$ и $B$ будут $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ соответственно. Так как пункты расположены по одну сторону от дороги, можно считать, что $y_A > 0$ и $y_B > 0$. Пусть концы платформы $МК$ имеют координаты $M(x_M, 0)$ и $K(x_K, 0)$.

Длина дороги $AMKB$ представляет собой сумму длин отрезков $AM$, $MK$ и $KB$. Обозначим эту длину через $L$.

$L = AM + MK + KB$

Используя формулу расстояния между точками, получаем:

$AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (0 - y_A)^2} = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2}$

$KB = \sqrt{(x_K - x_B)^2 + (0 - y_B)^2} = \sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}$

Длина отрезка $MK$ на оси абсцисс равна $MK = |x_K - x_M|$.

Таким образом, общая длина $L$ равна:

$L(x_M, x_K) = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2} + |x_K - x_M| + \sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}$

Для минимизации этой функции рассмотрим два случая относительно взаимного расположения точек $M$ и $K$ на оси абсцисс.

Случай 1: Точка $M$ находится левее или совпадает с точкой $K$ ($x_M \le x_K$).

В этом случае $|x_K - x_M| = x_K - x_M$. Функция длины принимает вид:

$L(x_M, x_K) = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2} + (x_K - x_M) + \sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}$

Найдем частные производные по $x_M$ и $x_K$:

$\frac{\partial L}{\partial x_M} = \frac{2(x_M - x_A)}{2\sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2}} - 1 = \frac{x_M - x_A}{AM} - 1$

Значение $\frac{x_M - x_A}{AM}$ представляет собой косинус угла, который отрезок $AM$ образует с положительным направлением оси $Ox$. Так как $y_A > 0$, отрезок $AM$ не может быть параллелен оси $Ox$, следовательно, $-1 < \frac{x_M - x_A}{AM} < 1$. Отсюда, $\frac{\partial L}{\partial x_M} = \cos(\angle(AM, Ox)) - 1$. Поскольку $\cos(\angle(AM, Ox)) < 1$, производная $\frac{\partial L}{\partial x_M}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция $L$ убывает по $x_M$. Для минимизации $L$ необходимо максимально увеличить $x_M$.

$\frac{\partial L}{\partial x_K} = 1 + \frac{2(x_K - x_B)}{2\sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}} = 1 + \frac{x_K - x_B}{KB}$

Значение $\frac{x_K - x_B}{KB}$ представляет собой косинус угла, который отрезок $KB$ образует с положительным направлением оси $Ox$. Так как $y_B > 0$, отрезок $KB$ не может быть параллелен оси $Ox$, следовательно, $-1 < \frac{x_K - x_B}{KB} < 1$. Отсюда, $\frac{\partial L}{\partial x_K} = 1 + \cos(\angle(KB, Ox))$. Поскольку $\cos(\angle(KB, Ox)) > -1$, производная $\frac{\partial L}{\partial x_K}$ всегда положительна. Это означает, что функция $L$ возрастает по $x_K$. Для минимизации $L$ необходимо максимально уменьшить $x_K$.

Учитывая условие $x_M \le x_K$, для достижения минимума функции $L$, $x_M$ должно стремиться к максимально возможному значению, а $x_K$ к минимально возможному. Единственный способ для этого при условии $x_M \le x_K$ — это когда $x_M = x_K$.

Случай 2: Точка $M$ находится правее точки $K$ ($x_M > x_K$).

В этом случае $|x_K - x_M| = x_M - x_K$. Функция длины принимает вид:

$L(x_M, x_K) = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2} + (x_M - x_K) + \sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}$

Найдем частные производные по $x_M$ и $x_K$:

$\frac{\partial L}{\partial x_M} = \frac{x_M - x_A}{AM} + 1$

Так как $\frac{x_M - x_A}{AM} > -1$, то $\frac{\partial L}{\partial x_M} > 0$. Это означает, что $L$ возрастает по $x_M$. Для минимизации $L$ необходимо максимально уменьшить $x_M$.

$\frac{\partial L}{\partial x_K} = -1 + \frac{x_K - x_B}{KB}$

Так как $\frac{x_K - x_B}{KB} < 1$, то $\frac{\partial L}{\partial x_K} < 0$. Это означает, что $L$ убывает по $x_K$. Для минимизации $L$ необходимо максимально увеличить $x_K$.

Учитывая условие $x_M > x_K$, для достижения минимума функции $L$, $x_M$ должно стремиться к минимально возможному значению, а $x_K$ к максимально возможному. Это также приводит к тому, что $x_M = x_K$.

Из обоих случаев следует, что наименьшая длина дороги $AMKB$ достигается, когда точки $M$ и $K$ совпадают, то есть длина платформы $MK$ равна нулю. В этом случае задача сводится к нахождению одной точки $P$ на железной дороге, для которой сумма расстояний $AP + PB$ будет наименьшей.

Эта задача является классической задачей о минимальном пути с отражением (проблема Герона). Чтобы найти такую точку $P$, необходимо отразить одну из данных точек (например, $B$) относительно железной дороги. Пусть $B'$ будет отражением точки $B$. Если $B(x_B, y_B)$, то $B'(x_B, -y_B)$.

Расстояние $PB$ равно расстоянию $PB'$. Таким образом, мы ищем точку $P$ на оси $Ox$, чтобы сумма $AP + PB'$ была наименьшей. Наименьшее расстояние между двумя точками (в данном случае $A$ и $B'$) достигается по прямой. Следовательно, точка $P$ должна быть точкой пересечения отрезка $AB'$ с железной дорогой (осью $Ox$).

Найдем координаты точки $P(x_P, 0)$. Уравнение прямой, проходящей через $A(x_A, y_A)$ и $B'(x_B, -y_B)$, можно записать как:

$\frac{y - y_A}{-y_B - y_A} = \frac{x - x_A}{x_B - x_A}$

Полагаем $y=0$ для нахождения точки пересечения с осью $Ox$:

$\frac{-y_A}{-(y_B + y_A)} = \frac{x_P - x_A}{x_B - x_A}$

$\frac{y_A}{y_B + y_A} = \frac{x_P - x_A}{x_B - x_A}$

$x_P - x_A = \frac{y_A(x_B - x_A)}{y_A + y_B}$

$x_P = x_A + \frac{y_A(x_B - x_A)}{y_A + y_B} = \frac{x_A(y_A + y_B) + y_A(x_B - x_A)}{y_A + y_B}$

$x_P = \frac{x_A y_A + x_A y_B + y_A x_B - x_A y_A}{y_A + y_B} = \frac{x_A y_B + x_B y_A}{y_A + y_B}$

Таким образом, платформа $МК$ должна быть расположена в точке $P(\frac{x_A y_B + x_B y_A}{y_A + y_B}, 0)$, причем $М=К=Р$.

Ответ:

Платформу $МК$ следует расположить в одной точке $P$ на железной дороге. Эта точка $P$ является точкой пересечения железной дороги с прямой, соединяющей одну из данных точек (например, $A$) с точкой $B'$, которая является симметричным отражением точки $B$ относительно железной дороги.