Номер 159, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Рисунок 102

159. Два пункта $A$ и $B$ расположены между дорогами $a$ и $b$ (рисунок 102). Где на этих дорогах должны быть пункты $M$ и $N$ ($M\in a$, $N\in b$), чтобы путь $AMNB$ был кратчайшим?

Уровень В

160. По одну сторону от железной дороги рас-

Дано:

Два пункта $A$ и $B$. Две дороги (прямые) $a$ и $b$, расположенные между $A$ и $B$.

Найти:

Положение пунктов $M \in a$ и $N \in b$ таких, чтобы путь $AMNB$ был кратчайшим.

Решение:

Задача требует нахождения точек $M$ на дороге $a$ и $N$ на дороге $b$, таких, чтобы общая длина пути $AMNB$ была минимальной. Длина пути выражается как сумма отрезков $AM + MN + NB$. Для решения таких задач обычно используется метод отражений.

1. Отразим точку $A$ относительно дороги $a$. Пусть $A'$ будет точкой, симметричной точке $A$ относительно прямой $a$. По свойству симметрии, расстояние от точки $A$ до любой точки $M$ на прямой $a$ равно расстоянию от $A'$ до $M$. Таким образом, $AM = A'M$. Это позволяет переписать искомую длину пути как $A'M + MN + NB$.

2. Отразим точку $B$ относительно дороги $b$. Пусть $B'$ будет точкой, симметричной точке $B$ относительно прямой $b$. Аналогично, расстояние от точки $B$ до любой точки $N$ на прямой $b$ равно расстоянию от $B'$ до $N$. Таким образом, $NB = NB'$. Это позволяет переписать искомую длину пути далее как $A'M + MN + NB'$.

3. Теперь задача сводится к нахождению точек $M$ на $a$ и $N$ на $b$ таким образом, чтобы сумма длин отрезков $A'M + MN + NB'$ была минимальной. Наименьшее расстояние между двумя точками достигается по прямой линии. Следовательно, для минимизации суммы $A'M + MN + NB'$ точки $A'$, $M$, $N$ и $B'$ должны лежать на одной прямой. Это означает, что кратчайший путь будет представлять собой прямую линию, соединяющую $A'$ и $B'$.

4. Таким образом, для нахождения точек $M$ и $N$ необходимо провести прямую линию (отрезок) от $A'$ до $B'$.

• Точка $M$ будет являться точкой пересечения этого отрезка $A'B'$ с дорогой $a$.
• Точка $N$ будет являться точкой пересечения этого отрезка $A'B'$ с дорогой $b$.

При таком построении длина пути $AMNB$ будет равна длине отрезка $A'B'$, что является кратчайшим возможным расстоянием.

Ответ:

Чтобы путь $AMNB$ был кратчайшим, необходимо выполнить следующие построения:

1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно дороги $a$.
2. Построить точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно дороги $b$.
3. Провести прямую линию (отрезок) от $A'$ до $B'$.
4. Точка $M$ будет являться точкой пересечения отрезка $A'B'$ с дорогой $a$.
5. Точка $N$ будет являться точкой пересечения отрезка $A'B'$ с дорогой $b$.