Номер 161, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

161. Даны две равные окружности. Найдите геометрическое место точек, около которых можно осуществить поворот одной окружности, чтобы она совпала с другой.

Дано:

Две равные окружности, $C_1$ и $C_2$, с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно и радиусом $R$.

Найти:

Геометрическое место точек, около которых можно осуществить поворот одной окружности, чтобы она совпала с другой.

Решение:

Пусть даны две равные окружности $C_1$ и $C_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ и одинаковым радиусом $R$. Требуется найти геометрическое место точек $P$, которые могут быть центрами поворота, переводящего окружность $C_1$ в окружность $C_2$.

При повороте одной окружности вокруг точки $P$ до совпадения с другой окружностью, центр первой окружности $O_1$ должен перейти в центр второй окружности $O_2$. Обозначим этот поворот как $R_P^\alpha$, где $P$ — центр поворота, а $\alpha$ — угол поворота. Следовательно, должно выполняться условие $R_P^\alpha(O_1) = O_2$.

По определению поворота, расстояние от центра поворота до любой точки равно расстоянию от центра поворота до образа этой точки. Таким образом, расстояние от $P$ до $O_1$ должно быть равно расстоянию от $P$ до $O_2$. Математически это выражается как $PO_1 = PO_2$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек $O_1$ и $O_2$, является перпендикулярной биссектрисой отрезка, соединяющего эти две точки.

Рассмотрим два случая:

1. Центры окружностей не совпадают ($O_1 \neq O_2$).

В этом случае отрезок $O_1O_2$ имеет определенную длину. Перпендикулярная биссектриса этого отрезка — это прямая, перпендикулярная отрезку $O_1O_2$ и проходящая через его середину. Любая точка $P$ на этой прямой является центром поворота, так как $PO_1 = PO_2$. Угол поворота $\alpha$ будет равен углу $\angle O_1PO_2$. В частности, если $P$ — середина отрезка $O_1O_2$, то поворот будет на $180^\circ$ (центральная симметрия).

2. Центры окружностей совпадают ($O_1 = O_2$).

В этом случае обе окружности фактически являются одной и той же окружностью. Если требуется, чтобы окружность совпала сама с собой, то:

Если центр поворота $P$ совпадает с центром окружности $O_1$, то поворот на любой угол $\alpha$ ($0^\circ < \alpha \le 360^\circ$) отобразит окружность на себя.

Если центр поворота $P$ не совпадает с центром окружности $O_1$, то единственным способом отобразить окружность на себя является поворот на $0^\circ$ (или $360^\circ$ и т.д., то есть $2\pi k$). Такой "нулевой" поворот не изменяет положение окружности, и любая точка на плоскости может быть его центром. Однако, в задачах на геометрическое место точек обычно подразумеваются нетривиальные преобразования. Если рассматривать только нетривиальные повороты (с $\alpha \neq 0, 2\pi k$), то единственной точкой, вокруг которой можно осуществить такой поворот, является центр самой окружности $O_1$.

При стандартной формулировке задач на геометрическое место точек для двух объектов предполагается, что эти объекты являются различными. Если бы $O_1 = O_2$, задача свелась бы к поиску центров вращения для одной окружности, переводящих ее в себя. В этом случае, если допустимы повороты на $0^\circ$, то все точки плоскости подходят. Если нет, то только центр окружности. Поскольку вопрос не уточняет угол поворота, и чаще всего подразумевает перемещение объекта, мы рассматриваем случай, когда $O_1 \neq O_2$.

Ответ:

Геометрическое место точек, около которых можно осуществить поворот одной окружности, чтобы она совпала с другой, при условии, что центры окружностей не совпадают, является перпендикулярной биссектрисой отрезка, соединяющего центры этих окружностей.