Страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Рисунок 102

159. Два пункта $A$ и $B$ расположены между дорогами $a$ и $b$ (рисунок 102). Где на этих дорогах должны быть пункты $M$ и $N$ ($M\in a$, $N\in b$), чтобы путь $AMNB$ был кратчайшим?

Уровень В

160. По одну сторону от железной дороги рас-

Дано:

Два пункта $A$ и $B$. Две дороги (прямые) $a$ и $b$, расположенные между $A$ и $B$.

Найти:

Положение пунктов $M \in a$ и $N \in b$ таких, чтобы путь $AMNB$ был кратчайшим.

Решение:

Задача требует нахождения точек $M$ на дороге $a$ и $N$ на дороге $b$, таких, чтобы общая длина пути $AMNB$ была минимальной. Длина пути выражается как сумма отрезков $AM + MN + NB$. Для решения таких задач обычно используется метод отражений.

1. Отразим точку $A$ относительно дороги $a$. Пусть $A'$ будет точкой, симметричной точке $A$ относительно прямой $a$. По свойству симметрии, расстояние от точки $A$ до любой точки $M$ на прямой $a$ равно расстоянию от $A'$ до $M$. Таким образом, $AM = A'M$. Это позволяет переписать искомую длину пути как $A'M + MN + NB$.

2. Отразим точку $B$ относительно дороги $b$. Пусть $B'$ будет точкой, симметричной точке $B$ относительно прямой $b$. Аналогично, расстояние от точки $B$ до любой точки $N$ на прямой $b$ равно расстоянию от $B'$ до $N$. Таким образом, $NB = NB'$. Это позволяет переписать искомую длину пути далее как $A'M + MN + NB'$.

3. Теперь задача сводится к нахождению точек $M$ на $a$ и $N$ на $b$ таким образом, чтобы сумма длин отрезков $A'M + MN + NB'$ была минимальной. Наименьшее расстояние между двумя точками достигается по прямой линии. Следовательно, для минимизации суммы $A'M + MN + NB'$ точки $A'$, $M$, $N$ и $B'$ должны лежать на одной прямой. Это означает, что кратчайший путь будет представлять собой прямую линию, соединяющую $A'$ и $B'$.

4. Таким образом, для нахождения точек $M$ и $N$ необходимо провести прямую линию (отрезок) от $A'$ до $B'$.

• Точка $M$ будет являться точкой пересечения этого отрезка $A'B'$ с дорогой $a$.
• Точка $N$ будет являться точкой пересечения этого отрезка $A'B'$ с дорогой $b$.

При таком построении длина пути $AMNB$ будет равна длине отрезка $A'B'$, что является кратчайшим возможным расстоянием.

Ответ:

Чтобы путь $AMNB$ был кратчайшим, необходимо выполнить следующие построения:

1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно дороги $a$.
2. Построить точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно дороги $b$.
3. Провести прямую линию (отрезок) от $A'$ до $B'$.
4. Точка $M$ будет являться точкой пересечения отрезка $A'B'$ с дорогой $a$.
5. Точка $N$ будет являться точкой пересечения отрезка $A'B'$ с дорогой $b$.

Рисунок 102

160. По одну сторону от железной дороги расположены два пункта $A$ и $B$. Где надо расположить платформу $MK$ вдоль железной дороги, чтобы длина дороги $AMKB$ была наименьшей?

Дано:

Два пункта $A$ и $B$ расположены по одну сторону от железной дороги.

Платформа $МК$ должна быть расположена вдоль железной дороги.

Найти:

Местоположение платформы $МК$ (точки $М$ и $К$) такое, чтобы длина дороги $АМКВ$ была наименьшей.

Решение:

Пусть железная дорога представляет собой прямую на плоскости. Без потери общности, примем эту прямую за ось абсцисс ($y=0$). Пусть координаты пунктов $A$ и $B$ будут $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ соответственно. Так как пункты расположены по одну сторону от дороги, можно считать, что $y_A > 0$ и $y_B > 0$. Пусть концы платформы $МК$ имеют координаты $M(x_M, 0)$ и $K(x_K, 0)$.

Длина дороги $AMKB$ представляет собой сумму длин отрезков $AM$, $MK$ и $KB$. Обозначим эту длину через $L$.

$L = AM + MK + KB$

Используя формулу расстояния между точками, получаем:

$AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (0 - y_A)^2} = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2}$

$KB = \sqrt{(x_K - x_B)^2 + (0 - y_B)^2} = \sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}$

Длина отрезка $MK$ на оси абсцисс равна $MK = |x_K - x_M|$.

Таким образом, общая длина $L$ равна:

$L(x_M, x_K) = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2} + |x_K - x_M| + \sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}$

Для минимизации этой функции рассмотрим два случая относительно взаимного расположения точек $M$ и $K$ на оси абсцисс.

Случай 1: Точка $M$ находится левее или совпадает с точкой $K$ ($x_M \le x_K$).

В этом случае $|x_K - x_M| = x_K - x_M$. Функция длины принимает вид:

$L(x_M, x_K) = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2} + (x_K - x_M) + \sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}$

Найдем частные производные по $x_M$ и $x_K$:

$\frac{\partial L}{\partial x_M} = \frac{2(x_M - x_A)}{2\sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2}} - 1 = \frac{x_M - x_A}{AM} - 1$

Значение $\frac{x_M - x_A}{AM}$ представляет собой косинус угла, который отрезок $AM$ образует с положительным направлением оси $Ox$. Так как $y_A > 0$, отрезок $AM$ не может быть параллелен оси $Ox$, следовательно, $-1 < \frac{x_M - x_A}{AM} < 1$. Отсюда, $\frac{\partial L}{\partial x_M} = \cos(\angle(AM, Ox)) - 1$. Поскольку $\cos(\angle(AM, Ox)) < 1$, производная $\frac{\partial L}{\partial x_M}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция $L$ убывает по $x_M$. Для минимизации $L$ необходимо максимально увеличить $x_M$.

$\frac{\partial L}{\partial x_K} = 1 + \frac{2(x_K - x_B)}{2\sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}} = 1 + \frac{x_K - x_B}{KB}$

Значение $\frac{x_K - x_B}{KB}$ представляет собой косинус угла, который отрезок $KB$ образует с положительным направлением оси $Ox$. Так как $y_B > 0$, отрезок $KB$ не может быть параллелен оси $Ox$, следовательно, $-1 < \frac{x_K - x_B}{KB} < 1$. Отсюда, $\frac{\partial L}{\partial x_K} = 1 + \cos(\angle(KB, Ox))$. Поскольку $\cos(\angle(KB, Ox)) > -1$, производная $\frac{\partial L}{\partial x_K}$ всегда положительна. Это означает, что функция $L$ возрастает по $x_K$. Для минимизации $L$ необходимо максимально уменьшить $x_K$.

Учитывая условие $x_M \le x_K$, для достижения минимума функции $L$, $x_M$ должно стремиться к максимально возможному значению, а $x_K$ к минимально возможному. Единственный способ для этого при условии $x_M \le x_K$ — это когда $x_M = x_K$.

Случай 2: Точка $M$ находится правее точки $K$ ($x_M > x_K$).

В этом случае $|x_K - x_M| = x_M - x_K$. Функция длины принимает вид:

$L(x_M, x_K) = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + y_A^2} + (x_M - x_K) + \sqrt{(x_K - x_B)^2 + y_B^2}$

Найдем частные производные по $x_M$ и $x_K$:

$\frac{\partial L}{\partial x_M} = \frac{x_M - x_A}{AM} + 1$

Так как $\frac{x_M - x_A}{AM} > -1$, то $\frac{\partial L}{\partial x_M} > 0$. Это означает, что $L$ возрастает по $x_M$. Для минимизации $L$ необходимо максимально уменьшить $x_M$.

$\frac{\partial L}{\partial x_K} = -1 + \frac{x_K - x_B}{KB}$

Так как $\frac{x_K - x_B}{KB} < 1$, то $\frac{\partial L}{\partial x_K} < 0$. Это означает, что $L$ убывает по $x_K$. Для минимизации $L$ необходимо максимально увеличить $x_K$.

Учитывая условие $x_M > x_K$, для достижения минимума функции $L$, $x_M$ должно стремиться к минимально возможному значению, а $x_K$ к максимально возможному. Это также приводит к тому, что $x_M = x_K$.

Из обоих случаев следует, что наименьшая длина дороги $AMKB$ достигается, когда точки $M$ и $K$ совпадают, то есть длина платформы $MK$ равна нулю. В этом случае задача сводится к нахождению одной точки $P$ на железной дороге, для которой сумма расстояний $AP + PB$ будет наименьшей.

Эта задача является классической задачей о минимальном пути с отражением (проблема Герона). Чтобы найти такую точку $P$, необходимо отразить одну из данных точек (например, $B$) относительно железной дороги. Пусть $B'$ будет отражением точки $B$. Если $B(x_B, y_B)$, то $B'(x_B, -y_B)$.

Расстояние $PB$ равно расстоянию $PB'$. Таким образом, мы ищем точку $P$ на оси $Ox$, чтобы сумма $AP + PB'$ была наименьшей. Наименьшее расстояние между двумя точками (в данном случае $A$ и $B'$) достигается по прямой. Следовательно, точка $P$ должна быть точкой пересечения отрезка $AB'$ с железной дорогой (осью $Ox$).

Найдем координаты точки $P(x_P, 0)$. Уравнение прямой, проходящей через $A(x_A, y_A)$ и $B'(x_B, -y_B)$, можно записать как:

$\frac{y - y_A}{-y_B - y_A} = \frac{x - x_A}{x_B - x_A}$

Полагаем $y=0$ для нахождения точки пересечения с осью $Ox$:

$\frac{-y_A}{-(y_B + y_A)} = \frac{x_P - x_A}{x_B - x_A}$

$\frac{y_A}{y_B + y_A} = \frac{x_P - x_A}{x_B - x_A}$

$x_P - x_A = \frac{y_A(x_B - x_A)}{y_A + y_B}$

$x_P = x_A + \frac{y_A(x_B - x_A)}{y_A + y_B} = \frac{x_A(y_A + y_B) + y_A(x_B - x_A)}{y_A + y_B}$

$x_P = \frac{x_A y_A + x_A y_B + y_A x_B - x_A y_A}{y_A + y_B} = \frac{x_A y_B + x_B y_A}{y_A + y_B}$

Таким образом, платформа $МК$ должна быть расположена в точке $P(\frac{x_A y_B + x_B y_A}{y_A + y_B}, 0)$, причем $М=К=Р$.

Ответ:

Платформу $МК$ следует расположить в одной точке $P$ на железной дороге. Эта точка $P$ является точкой пересечения железной дороги с прямой, соединяющей одну из данных точек (например, $A$) с точкой $B'$, которая является симметричным отражением точки $B$ относительно железной дороги.

161. Даны две равные окружности. Найдите геометрическое место точек, около которых можно осуществить поворот одной окружности, чтобы она совпала с другой.

Дано:

Две равные окружности, $C_1$ и $C_2$, с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно и радиусом $R$.

Найти:

Геометрическое место точек, около которых можно осуществить поворот одной окружности, чтобы она совпала с другой.

Решение:

Пусть даны две равные окружности $C_1$ и $C_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ и одинаковым радиусом $R$. Требуется найти геометрическое место точек $P$, которые могут быть центрами поворота, переводящего окружность $C_1$ в окружность $C_2$.

При повороте одной окружности вокруг точки $P$ до совпадения с другой окружностью, центр первой окружности $O_1$ должен перейти в центр второй окружности $O_2$. Обозначим этот поворот как $R_P^\alpha$, где $P$ — центр поворота, а $\alpha$ — угол поворота. Следовательно, должно выполняться условие $R_P^\alpha(O_1) = O_2$.

По определению поворота, расстояние от центра поворота до любой точки равно расстоянию от центра поворота до образа этой точки. Таким образом, расстояние от $P$ до $O_1$ должно быть равно расстоянию от $P$ до $O_2$. Математически это выражается как $PO_1 = PO_2$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек $O_1$ и $O_2$, является перпендикулярной биссектрисой отрезка, соединяющего эти две точки.

Рассмотрим два случая:

1. Центры окружностей не совпадают ($O_1 \neq O_2$).

В этом случае отрезок $O_1O_2$ имеет определенную длину. Перпендикулярная биссектриса этого отрезка — это прямая, перпендикулярная отрезку $O_1O_2$ и проходящая через его середину. Любая точка $P$ на этой прямой является центром поворота, так как $PO_1 = PO_2$. Угол поворота $\alpha$ будет равен углу $\angle O_1PO_2$. В частности, если $P$ — середина отрезка $O_1O_2$, то поворот будет на $180^\circ$ (центральная симметрия).

2. Центры окружностей совпадают ($O_1 = O_2$).

В этом случае обе окружности фактически являются одной и той же окружностью. Если требуется, чтобы окружность совпала сама с собой, то:

Если центр поворота $P$ совпадает с центром окружности $O_1$, то поворот на любой угол $\alpha$ ($0^\circ < \alpha \le 360^\circ$) отобразит окружность на себя.

Если центр поворота $P$ не совпадает с центром окружности $O_1$, то единственным способом отобразить окружность на себя является поворот на $0^\circ$ (или $360^\circ$ и т.д., то есть $2\pi k$). Такой "нулевой" поворот не изменяет положение окружности, и любая точка на плоскости может быть его центром. Однако, в задачах на геометрическое место точек обычно подразумеваются нетривиальные преобразования. Если рассматривать только нетривиальные повороты (с $\alpha \neq 0, 2\pi k$), то единственной точкой, вокруг которой можно осуществить такой поворот, является центр самой окружности $O_1$.

При стандартной формулировке задач на геометрическое место точек для двух объектов предполагается, что эти объекты являются различными. Если бы $O_1 = O_2$, задача свелась бы к поиску центров вращения для одной окружности, переводящих ее в себя. В этом случае, если допустимы повороты на $0^\circ$, то все точки плоскости подходят. Если нет, то только центр окружности. Поскольку вопрос не уточняет угол поворота, и чаще всего подразумевает перемещение объекта, мы рассматриваем случай, когда $O_1 \neq O_2$.

Ответ:

Геометрическое место точек, около которых можно осуществить поворот одной окружности, чтобы она совпала с другой, при условии, что центры окружностей не совпадают, является перпендикулярной биссектрисой отрезка, соединяющего центры этих окружностей.

162. Фигура ABCDF (рисунок 103) поворотами вокруг центра O на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$, $4x^\circ$, $5x^\circ$ отображается на себя.

а) Чему равен x?

б) Назовите образы отрезка AC при повороте около точки O на $x^\circ$.

Рисунок 103

Дано:

Фигура $ABCDF$ (рисунок 103) — правильная пятиконечная звезда с центром $O$.

Фигура отображается на себя при поворотах вокруг центра $O$ на углы $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$, $4x^\circ$, $5x^\circ$.

Найти:

а) Чему равен $x$?

б) Назвать образы отрезка $AC$ при повороте около точки $O$ на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$, $4x^\circ$, $5x^\circ$.

Решение:

а) Чему равен x?

Фигура $ABCDF$ является правильной пятиконечной звездой (пентаграммой). Правильная пятиконечная звезда обладает вращательной симметрией 5-го порядка относительно своего центра. Это означает, что она отображается на себя при поворотах вокруг своего центра на углы, кратные $\frac{360^\circ}{5}$.

Наименьший ненулевой угол поворота, при котором фигура отображается на себя, составляет:

$\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

По условию задачи, фигура отображается на себя при поворотах на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$, $4x^\circ$, $5x^\circ$. Это означает, что $x^\circ$ должен быть наименьшим таким углом, или его кратным, чтобы все последующие углы ($2x^\circ, 3x^\circ, 4x^\circ, 5x^\circ$) также были углами симметрии.

Наименьшее значение $x$, при котором это условие выполняется, соответствует наименьшему углу поворота симметрии.

Таким образом, $x^\circ = 72^\circ$.

При этом значения углов поворота будут: $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$, $288^\circ$, $360^\circ$. Все эти углы являются кратными $72^\circ$, что соответствует вращательной симметрии пятиконечной звезды.

Ответ: $x = 72$

б) Назовите образы отрезка AC при повороте около точки O на $x^\circ$.

Используя найденное значение $x = 72^\circ$, определим образы отрезка $AC$ при каждом из заданных поворотов. Мы будем считать, что поворот осуществляется против часовой стрелки, следуя последовательности вершин A, B, C, D, F.

При повороте на $x^\circ = 72^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $B$.

• Вершина $C$ переходит в вершину $D$.

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $BD$.

При повороте на $2x^\circ = 144^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $C$ ($A \rightarrow B \rightarrow C$).

• Вершина $C$ переходит в вершину $F$ ($C \rightarrow D \rightarrow F$).

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $CF$.

При повороте на $3x^\circ = 216^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $D$ ($A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$).

• Вершина $C$ переходит в вершину $A$ ($C \rightarrow D \rightarrow F \rightarrow A$).

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $DA$ (или $AD$).

При повороте на $4x^\circ = 288^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $F$ ($A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow F$).

• Вершина $C$ переходит в вершину $B$ ($C \rightarrow D \rightarrow F \rightarrow A \rightarrow B$).

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $FB$ (или $BF$).

При повороте на $5x^\circ = 360^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $A$ (поворот на $360^\circ$ возвращает в исходное положение).

• Вершина $C$ переходит в вершину $C$.

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $AC$.

Ответ: При повороте на $x^\circ$ ($72^\circ$), образ отрезка $AC$ — $BD$. При повороте на $2x^\circ$ ($144^\circ$), образ отрезка $AC$ — $CF$. При повороте на $3x^\circ$ ($216^\circ$), образ отрезка $AC$ — $DA$. При повороте на $4x^\circ$ ($288^\circ$), образ отрезка $AC$ — $FB$. При повороте на $5x^\circ$ ($360^\circ$), образ отрезка $AC$ — $AC$.

163.
a) Постройте шестиугольник, который при повороте вокруг некоторой точки на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ отобразится сам на себя.
б) Имеет ли построенный в задаче а) шестиугольник центр симметрии; ось симметрии? Если имеет, то укажите их.

a) Постройте шестиугольник, который при повороте вокруг некоторой точки на x°, 2x°, 3x° отобразится сам на себя.

Дано:

Шестиугольник, который при поворотах на углы $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ вокруг некоторой точки отображается сам на себя.

Найти:

Вид такого шестиугольника.

Решение:

Для того чтобы шестиугольник отображался сам на себя при поворотах на углы $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ вокруг некоторой точки (центра поворота), он должен обладать поворотной симметрией.

Это означает, что углы $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ должны быть кратны наименьшему углу поворота $\alpha$, при котором шестиугольник отображается сам на себя. Также, полный круг $360^\circ$ должен быть кратен $\alpha$. То есть, $360^\circ = n \cdot \alpha$, где $n$ – порядок поворотной симметрии.

Из условия, что повороты на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ отображают шестиугольник на себя, следует, что $x^\circ$ должен быть наименьшим углом поворота или кратным наименьшего угла. Если $x^\circ$ является наименьшим углом поворота, то порядок симметрии $n$ равен $360/x$.

Рассмотрим правильный шестиугольник. Правильный шестиугольник обладает поворотной симметрией порядка 6. Наименьший угол поворота, при котором правильный шестиугольник отображается сам на себя, равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Если мы примем $x^\circ = 60^\circ$, то заданные углы поворота будут $60^\circ$, $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$, и $3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$. Все эти углы являются кратными $60^\circ$, и при таких поворотах правильный шестиугольник отобразится сам на себя.

Центром поворота для правильного шестиугольника является его геометрический центр.

Таким образом, правильный шестиугольник является искомым шестиугольником.

Ответ: Правильный шестиугольник.

б) Имеет ли построенный в задаче а) шестиугольник центр симметрии; ось симметрии? Если имеет, то укажите их.

Дано:

Построенный в пункте а) шестиугольник (правильный шестиугольник).

Найти:

Наличие центра симметрии и осей симметрии, и их указание.

Решение:

Построенный в задаче а) шестиугольник является правильным шестиугольником.

Центр симметрии: Правильный шестиугольник имеет центр симметрии. Центром симметрии является его геометрический центр, который совпадает с центром описанной и вписанной окружностей. Любая точка, расположенная на правильном шестиугольнике, при центральной симметрии относительно этой точки отображается в другую точку шестиугольника, которая находится на том же расстоянии от центра, но в противоположном направлении.

Ось симметрии: Правильный шестиугольник также имеет оси симметрии.

Он имеет 6 осей симметрии:

1. Три оси симметрии проходят через противоположные вершины шестиугольника (например, через вершину $A_1$ и $A_4$, $A_2$ и $A_5$, $A_3$ и $A_6$ для шестиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$).

2. Три оси симметрии проходят через середины противоположных сторон шестиугольника (например, через середину стороны $A_1A_2$ и середину стороны $A_4A_5$, $A_2A_3$ и $A_5A_6$, $A_3A_4$ и $A_6A_1$).

Ответ: Да, построенный шестиугольник (правильный шестиугольник) имеет центр симметрии и оси симметрии. Центр симметрии: геометрический центр шестиугольника. Оси симметрии: три оси, проходящие через противоположные вершины, и три оси, проходящие через середины противоположных сторон.

164. a) На сторонах $CA$ и $CB$ равностороннего треугольника $ABC$ отложены отрезки $CM$ и $CN$, сумма длин которых равна стороне треугольника. Найдите угол $MON$, где $O$ - точка пересечения медиан треугольника.

б) Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен $60^\circ$ и которые не содержат вершин треугольника. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны.

a) На сторонах CA и CB равностороннего треугольника ABC отложены отрезки CM и CN, сумма длин которых равна стороне треугольника. Найдите угол MON, где O — точка пересечения медиан треугольника.

Дано:
Треугольник $ABC$ – равносторонний.
Точка $O$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$ (центр треугольника).
$M$ лежит на стороне $CA$.
$N$ лежит на стороне $CB$.
$CM + CN = AC$ (или $BC$, или $AB$, так как треугольник равносторонний). Обозначим сторону треугольника как $a$. Следовательно, $CM + CN = a$.

Найти:
Угол $\angle MON$.

Решение:
Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его углы равны $60^\circ$. Точка $O$ является центром треугольника (точкой пересечения медиан, биссектрис, высот и центром описанной и вписанной окружностей).
Отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами описанной окружности. В равностороннем треугольнике углы, образованные этими радиусами в центре $O$, равны: $\angle AOC = \angle BOC = \angle AOB = 360^\circ / 3 = 120^\circ$.
Медианы (и биссектрисы) равностороннего треугольника делят углы пополам. Следовательно, $CO$ является биссектрисой угла $\angle ACB$.
Таким образом, $\angle OCM = \angle OCA = 30^\circ$ (так как $M$ лежит на $CA$).
Аналогично, $\angle OCN = \angle OCB = 30^\circ$ (так как $N$ лежит на $CB$).
Теперь рассмотрим отрезки $AM$ и $CN$.
По условию, $CM + CN = a$.
Длина отрезка $AM = AC - CM = a - CM$.
Из равенства $CM + CN = a$ следует $CN = a - CM$.
Таким образом, $AM = CN$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle CON$.
1. Сторона $OA = OC$ (как радиусы описанной окружности равностороннего треугольника).
2. Угол $\angle OAM = \angle OAC = 30^\circ$ (поскольку $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC = 60^\circ$).
3. Угол $\angle OCN = \angle OCB = 30^\circ$ (поскольку $CO$ является биссектрисой угла $\angle ACB = 60^\circ$).
Следовательно, $\angle OAM = \angle OCN = 30^\circ$.
4. Мы только что доказали, что $AM = CN$.
По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle CON$ равны: $\triangle AOM \cong \triangle CON$.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle CON$.
Теперь найдем угол $\angle MON$.
Угол $\angle MON$ является суммой углов $\angle MOC$ и $\angle CON$:
$\angle MON = \angle MOC + \angle CON$.
Заменим $\angle CON$ на $\angle AOM$ (так как они равны):
$\angle MON = \angle MOC + \angle AOM$.
Сумма углов $\angle MOC$ и $\angle AOM$ составляет угол $\angle AOC$.
$\angle MON = \angle AOC$.
Мы знаем, что $\angle AOC = 120^\circ$.
Следовательно, $\angle MON = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

б) Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60° и которые не содержат вершин треугольника. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны.

Дано:
Треугольник $ABC$ – равносторонний.
Точка $O$ – центр треугольника.
Прямые $l_1$ и $l_2$ проходят через $O$.
Угол между $l_1$ и $l_2$ равен $60^\circ$.
Прямые $l_1$ и $l_2$ не содержат вершин треугольника.

Найти:
Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны.

Решение:
Пусть $l_1$ — одна из данных прямых, проходящая через центр $O$ равностороннего треугольника $ABC$.
Поскольку прямая $l_1$ проходит через центр треугольника и не содержит его вершин, она пересекает две стороны треугольника в различных точках. Пусть эти точки будут $P_1$ и $P_2$, и отрезок $P_1P_2$ является частью прямой $l_1$, заключенной между сторонами треугольника.
Аналогично, пусть $l_2$ — вторая данная прямая, проходящая через центр $O$. Она также пересекает две стороны треугольника в точках $Q_1$ и $Q_2$, образуя отрезок $Q_1Q_2$.
По условию, угол между прямыми $l_1$ и $l_2$ равен $60^\circ$.
Рассмотрим вращение плоскости вокруг центра треугольника $O$ на угол $60^\circ$ (по часовой стрелке или против часовой стрелки).
1. Равносторонний треугольник $ABC$ при вращении вокруг своего центра $O$ на $60^\circ$ отображается сам на себя. То есть, $\triangle ABC$ переходит в $\triangle ABC$.
2. Прямая $l_1$ проходит через центр вращения $O$. Следовательно, ее образ $l_1'$ после вращения также будет проходить через $O$.
3. Угол между прямой $l_1$ и ее образом $l_1'$ равен углу вращения, то есть $60^\circ$.
4. Таким образом, образ $l_1'$ является одной из прямых, которая проходит через $O$ и образует угол $60^\circ$ с $l_1$. По условию задачи, это прямая $l_2$. То есть, $l_1' = l_2$.
5. Отрезок $P_1P_2$ лежит на прямой $l_1$ и заключен между сторонами треугольника. При вращении на $60^\circ$ этот отрезок $P_1P_2$ переходит в отрезок $P_1'P_2'$ на прямой $l_1'$.
6. Вращение является изометрическим преобразованием, что означает, что оно сохраняет расстояния и длины отрезков. Следовательно, длина отрезка $P_1P_2$ равна длине отрезка $P_1'P_2'$: $P_1P_2 = P_1'P_2'$.
7. Поскольку $l_1'$ совпадает с $l_2$, то отрезок $P_1'P_2'$ является отрезком прямой $l_2$, заключенным между сторонами треугольника. По определению, этот отрезок есть $Q_1Q_2$.
Таким образом, $P_1'P_2' = Q_1Q_2$.
Из всего вышесказанного следует, что $P_1P_2 = Q_1Q_2$.

Ответ: Доказано.