Страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

170. В $\Delta ABC$ проведен отрезок $DE$, параллельный стороне $AC$, с концами на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите $AD$, если $AB = 16$ см, $BC = 20$ см, $BE = 15$ см.

Дано:

В $\triangle ABC$ проведен отрезок $DE$, параллельный стороне $AC$.

Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно.

$AB = 16$ см

$BC = 20$ см

$BE = 15$ см

Перевод в СИ:

$AB = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$BC = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

$BE = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

$AD$

Решение:

Поскольку отрезок $DE$ параллелен стороне $AC$ ($DE \parallel AC$), то по свойству подобных треугольников, $\triangle BDE$ подобен $\triangle BAC$. Это следует из того, что $\angle B$ является общим для обоих треугольников, а углы $\angle BDE$ и $\angle BAC$ (а также $\angle BED$ и $\angle BCA$) являются соответствующими углами при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущих $AB$ и $BC$.

Из подобия треугольников $\triangle BDE \sim \triangle BAC$ следует соотношение соответствующих сторон:

$\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC}$

Подставим известные значения:

$\frac{BD}{16} = \frac{15}{20}$

Для удобства сократим дробь $\frac{15}{20}$:

$\frac{15}{20} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{3}{4}$

Теперь уравнение принимает вид:

$\frac{BD}{16} = \frac{3}{4}$

Выразим $BD$ из этого уравнения:

$BD = \frac{3}{4} \cdot 16$

$BD = 3 \cdot \frac{16}{4}$

$BD = 3 \cdot 4$

$BD = 12$ см

Нам нужно найти длину отрезка $AD$. Известно, что точка $D$ лежит на отрезке $AB$, следовательно, длина отрезка $AB$ является суммой длин отрезков $AD$ и $BD$:

$AB = AD + BD$

Отсюда выразим $AD$:

$AD = AB - BD$

Подставим известные значения $AB = 16$ см и $BD = 12$ см:

$AD = 16 - 12$

$AD = 4$ см

Ответ: $AD = 4$ см

171. Даны окружность с центром $O$ и радиусом 2 см и прямая, удаленная от точки $O$ на расстояние, равное 3 см. Найдите на окружности две точки, которые при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом, равным 2, отобразятся на точки, принадлежащие данной прямой.

Дано:

Окружность $C_1$ с центром $O$ и радиусом $R_1 = 2$ см. Прямая $l$, удаленная от точки $O$ на расстояние $d = 3$ см. Гомотетия $H$ с центром $O$ и коэффициентом $k = 2$.

Перевод в СИ:

$R_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$d = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$k = 2$

Найти:

Две точки $A_1, A_2$ на окружности $C_1$, которые при гомотетии $H$ отображаются на точки $A'_1, A'_2$, принадлежащие прямой $l$.

Решение:

Пусть $C_1$ — данная окружность с центром $O$ и радиусом $R_1 = 2$ см. Пусть $A$ — искомая точка на окружности $C_1$.

При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = 2$, точка $A$ отображается в точку $A'$. Это означает, что $OA' = |k| \cdot OA = 2 \cdot OA$.

Поскольку точка $A$ лежит на окружности $C_1$, её расстояние от центра $O$ равно радиусу этой окружности, то есть $OA = R_1 = 2$ см.

Следовательно, расстояние от центра $O$ до отображенной точки $A'$ будет $OA' = 2 \cdot R_1 = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Таким образом, отображенная точка $A'$ лежит на окружности $C_2$ с центром $O$ и радиусом $R_2 = 4$ см.

По условию, отображенная точка $A'$ принадлежит данной прямой $l$. Значит, точка $A'$ является точкой пересечения окружности $C_2$ и прямой $l$.

Расстояние от центра $O$ до прямой $l$ равно $d = 3$ см. Радиус окружности $C_2$ равен $R_2 = 4$ см.

Так как $d = 3 \text{ см} < R_2 = 4 \text{ см}$, прямая $l$ пересекает окружность $C_2$ в двух различных точках. Обозначим эти точки $A'_1$ и $A'_2$.

Для нахождения этих точек опустим перпендикуляр $OM$ из центра $O$ на прямую $l$. Длина этого перпендикуляра $OM = d = 3$ см.

Треугольник $OMA'_1$ (и $OMA'_2$) является прямоугольным с гипотенузой $OA'_1 = R_2 = 4$ см и катетом $OM = 3$ см.

По теореме Пифагора находим длину отрезка $MA'_1$: $MA'_1 = \sqrt{(OA'_1)^2 - (OM)^2} = \sqrt{R_2^2 - d^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ см.

Таким образом, точки $A'_1$ и $A'_2$ расположены на прямой $l$ на расстоянии $\sqrt{7}$ см от точки $M$ по обе стороны от неё.

Теперь найдем искомые точки $A_1$ и $A_2$ на окружности $C_1$. Они являются прообразами точек $A'_1$ и $A'_2$ при гомотетии $H(O, k=2)$.

Если $A'$ является образом $A$ при гомотетии $H(O, k)$, то $A$ является образом $A'$ при гомотетии $H(O, 1/k)$. В нашем случае $1/k = 1/2$.

Следовательно, $A_1$ находится на отрезке $OA'_1$ так, что $OA_1 = \frac{1}{2} OA'_1$, и $A_2$ находится на отрезке $OA'_2$ так, что $OA_2 = \frac{1}{2} OA'_2$.

Так как $OA'_1 = OA'_2 = R_2 = 4$ см, то $OA_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$ и $OA_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Это подтверждает, что точки $A_1$ и $A_2$ лежат на окружности $C_1$ (с радиусом 2 см), как и требуется по условию. Эти две точки находятся на пересечении окружности $C_1$ с лучами $OA'_1$ и $OA'_2$.

Ответ:

Две точки на окружности с центром $O$ и радиусом 2 см, которые лежат на отрезках, соединяющих центр $O$ с точками пересечения данной прямой и окружности с центром $O$ и радиусом 4 см.

172. Дана окружность и проведены два ее радиуса. Постройте хорду этой окружности, которая делится данными радиусами на три равных отрезка.

Дано

Окружность с центром $O$ и радиусом $R$, а также два её радиуса $OA$ и $OB$.

Найти:

Построить хорду $CD$ этой окружности, которая делится данными радиусами $OA$ и $OB$ на три равных отрезка.

Решение

Пусть искомая хорда $CD$ пересекает радиус $OA$ в точке $E$ и радиус $OB$ в точке $F$. Условие задачи означает, что $CE = EF = FD$. Пусть длина каждого из этих отрезков равна $x$. Тогда общая длина хорды $CD = 3x$.

Пусть $M$ - середина хорды $CD$. Так как $CE=EF=FD=x$, то точка $E$ находится на расстоянии $x$ от $C$, а точка $F$ - на расстоянии $2x$ от $C$. Середина хорды $CD$ находится на расстоянии $3x/2$ от $C$. Следовательно, $M$ является серединой отрезка $EF$ ($EM = MF = x/2$).

Из того, что $M$ - середина хорды $CD$, следует, что радиус $OM$ перпендикулярен хорде $CD$. Поскольку $M$ также является серединой отрезка $EF$ и $OM \perp EF$, это означает, что треугольник $OEF$ является равнобедренным ($OE=OF$).

Так как $OE=OF$ и $M$ является серединой $EF$, то $OM$ - это биссектриса угла $\angle AOB$. Таким образом, искомая хорда $CD$ должна быть перпендикулярна биссектрисе $l$ угла $\angle AOB$, а её середина $M$ должна лежать на этой биссектрисе.

Из соотношения $CE=EF=FD=x$, мы имеем $CM = CD/2 = 3x/2$ и $EM = EF/2 = x/2$. Следовательно, $CM = 3 \cdot EM$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OME$ и $\triangle OMC$ (оба с прямым углом при $M$).

По теореме Пифагора для $\triangle OMC$: $OC^2 = OM^2 + CM^2$. Так как $OC = R$, то $R^2 = OM^2 + CM^2$.

По теореме Пифагора для $\triangle OME$: $OE^2 = OM^2 + EM^2$.

Подставим $CM = 3 \cdot EM$ в первое уравнение: $R^2 = OM^2 + (3 \cdot EM)^2 = OM^2 + 9 \cdot EM^2$.

Выразим $EM^2$ из второго уравнения: $EM^2 = OE^2 - OM^2$.

Подставим $EM^2$ в уравнение для $R^2$: $R^2 = OM^2 + 9(OE^2 - OM^2) = OM^2 + 9OE^2 - 9OM^2 = 9OE^2 - 8OM^2$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OME$, где $\angle EOM = \angle AOB / 2 = \alpha/2$, имеем $OM = OE \cdot \cos(\alpha/2)$. Следовательно, $OE = OM / \cos(\alpha/2)$.

Подставим $OE$ в уравнение для $R^2$: $R^2 = 9 \left( \frac{OM}{\cos(\alpha/2)} \right)^2 - 8OM^2$.

$R^2 = \frac{9OM^2}{\cos^2(\alpha/2)} - 8OM^2 = OM^2 \left( \frac{9}{\cos^2(\alpha/2)} - 8 \right)$.

$R^2 = OM^2 \left( \frac{9 - 8\cos^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)} \right)$.

$OM^2 = R^2 \frac{\cos^2(\alpha/2)}{9 - 8\cos^2(\alpha/2)}$.

Для удобства построения преобразуем выражение для $OM$ через тангенс, используя тождество $1/\cos^2 x = 1+\tan^2 x$:

$R^2 = OM^2 (9(1+\tan^2(\alpha/2)) - 8) = OM^2 (9 + 9\tan^2(\alpha/2) - 8) = OM^2 (1 + 9\tan^2(\alpha/2))$.

Таким образом, $OM = \frac{R}{\sqrt{1 + 9\tan^2(\alpha/2)}}$.

Построение:

1. Построение биссектрисы угла $\angle AOB$: Используя циркуль и линейку, постройте биссектрису $l$ угла $\angle AOB$. Точка $M$ (середина искомой хорды) будет лежать на этой биссектрисе.

2. Построение вспомогательной длины $3R \tan(\alpha/2)$:

   1. На биссектрисе $l$ отложите от точки $O$ отрезок $OP$ длиной, равной радиусу окружности $R$.

   2. Проведите прямую $m$ через точку $P$ перпендикулярно биссектрисе $l$.

   3. Прямая $OA$ (один из данных радиусов) пересечет прямую $m$ в некоторой точке $E_P$. Длина отрезка $PE_P = OP \cdot \tan(\angle AOP) = R \tan(\alpha/2)$.

   4. На прямой $m$ отложите от точки $P$ (в сторону от $l$) отрезок $P E_P'$ так, чтобы его длина была в три раза больше длины $PE_P$. Это можно сделать, последовательно откладывая длину $PE_P$ с помощью циркуля три раза. Таким образом, $PE_P' = 3R \tan(\alpha/2)$.

3. Построение вспомогательной длины $H = R \sqrt{1 + 9 \tan^2(\alpha/2)}$:

   1. Начертите произвольную прямую (например, горизонтальную). Отметьте на ней точку $O'$.

   2. Отложите от $O'$ отрезок $O'Q'$ длиной $R$.

   3. Из точки $Q'$ проведите прямую, перпендикулярную отрезку $O'Q'$.

   4. На этом перпендикуляре отложите от точки $Q'$ отрезок $Q'V'$ длиной, равной $PE_P'$ (длина, полученная в пункте 2d).

   5. Соедините точки $O'$ и $V'$. Длина отрезка $O'V'$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $R$ и $3R \tan(\alpha/2)$. Таким образом, $H = \sqrt{R^2 + (3R \tan(\alpha/2))^2} = R \sqrt{1 + 9 \tan^2(\alpha/2)}$.

4. Построение искомой длины $OM = R^2/H$:

   1. Начертите произвольный луч $r_1$, исходящий из центра $O$ окружности.

   2. На луче $r_1$ отложите от точки $O$ отрезок $OT_1$ длиной $H$ (длина, полученная в пункте 3e).

   3. На том же луче $r_1$ отложите от точки $O$ отрезок $OT_2$ длиной $R$. (Точка $T_2$ должна лежать между $O$ и $T_1$, так как $R < H$).

   4. Начертите второй произвольный луч $r_2$, исходящий из $O$ и не совпадающий с $r_1$.

   5. На луче $r_2$ отложите от точки $O$ отрезок $OT_3$ длиной $R$.

   6. Соедините точки $T_1$ и $T_3$ отрезком.

   7. Проведите прямую через точку $T_2$ параллельно отрезку $T_1T_3$. Эта прямая пересечет луч $r_2$ в точке $M$.

   8. По теореме Фалеса (или подобию треугольников $\triangle OMT_2$ и $\triangle OT_3T_1$) имеем $OM/OT_3 = OT_2/OT_1$. Подставляя длины, получаем $OM/R = R/H$, откуда $OM = R^2/H$. Эта длина $OM$ является искомой длиной $R / \sqrt{1 + 9\tan^2(\alpha/2)}$.

5. Построение хорды $CD$:

   1. На биссектрисе $l$ (из пункта 1) отложите от точки $O$ отрезок $OM$ (длина, полученная в пункте 4h).

   2. Проведите прямую через точку $M$ перпендикулярно биссектрисе $l$.

   3. Эта прямая пересечет данную окружность в двух точках $C$ и $D$. Отрезок $CD$ - искомая хорда.

Ответ:

Построение хорды $CD$ выполняется в соответствии с описанными выше шагами.