Номер 170, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

170. В $\Delta ABC$ проведен отрезок $DE$, параллельный стороне $AC$, с концами на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите $AD$, если $AB = 16$ см, $BC = 20$ см, $BE = 15$ см.

Дано:

В $\triangle ABC$ проведен отрезок $DE$, параллельный стороне $AC$.

Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно.

$AB = 16$ см

$BC = 20$ см

$BE = 15$ см

Перевод в СИ:

$AB = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$BC = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

$BE = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

$AD$

Решение:

Поскольку отрезок $DE$ параллелен стороне $AC$ ($DE \parallel AC$), то по свойству подобных треугольников, $\triangle BDE$ подобен $\triangle BAC$. Это следует из того, что $\angle B$ является общим для обоих треугольников, а углы $\angle BDE$ и $\angle BAC$ (а также $\angle BED$ и $\angle BCA$) являются соответствующими углами при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущих $AB$ и $BC$.

Из подобия треугольников $\triangle BDE \sim \triangle BAC$ следует соотношение соответствующих сторон:

$\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC}$

Подставим известные значения:

$\frac{BD}{16} = \frac{15}{20}$

Для удобства сократим дробь $\frac{15}{20}$:

$\frac{15}{20} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{3}{4}$

Теперь уравнение принимает вид:

$\frac{BD}{16} = \frac{3}{4}$

Выразим $BD$ из этого уравнения:

$BD = \frac{3}{4} \cdot 16$

$BD = 3 \cdot \frac{16}{4}$

$BD = 3 \cdot 4$

$BD = 12$ см

Нам нужно найти длину отрезка $AD$. Известно, что точка $D$ лежит на отрезке $AB$, следовательно, длина отрезка $AB$ является суммой длин отрезков $AD$ и $BD$:

$AB = AD + BD$

Отсюда выразим $AD$:

$AD = AB - BD$

Подставим известные значения $AB = 16$ см и $BD = 12$ см:

$AD = 16 - 12$

$AD = 4$ см

Ответ: $AD = 4$ см