Номер 175, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

175. а) Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

б) Постройте равносторонний $\triangle ABC$ со стороной 6 см и проведите прямые $MN$ и $M_1N_1$ так, чтобы $\triangle ABC \sim \triangle MNC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$ и $\triangle ABC \sim \triangle M_1N_1C$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{3}$. Подобны ли треугольники $MNC$ и $M_1N_1C$? Если подобны, то найдите коэффициент подобия.

Дано:

Сторона равностороннего треугольника $ABC$, $a_{ABC} = 6 \text{ см}$.
Коэффициент подобия $\triangle ABC$ и $\triangle MNC$, $k_1 = \frac{2}{3}$.
Коэффициент подобия $\triangle ABC$ и $\triangle M_1N_1C$, $k_2 = \frac{1}{3}$.

Перевод в СИ:

$a_{ABC} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

а) Доказать подобие двух равносторонних треугольников.
б) Описать построение $\triangle ABC$, отрезков $MN$ и $M_1N_1$. Определить, подобны ли $\triangle MNC$ и $\triangle M_1N_1C$. Если да, найти коэффициент подобия.

Решение

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны между собой, а все углы равны по $60^\circ$. Рассмотрим два произвольных равносторонних треугольника, например, $\triangle PQR$ со сторонами $p$ и $\triangle XYZ$ со сторонами $x$. Так как оба треугольника равносторонние, то все их углы равны $60^\circ$: $\angle P = \angle Q = \angle R = 60^\circ$
$\angle X = \angle Y = \angle Z = 60^\circ$
Следовательно, все соответствующие углы этих треугольников равны: $\angle P = \angle X$, $\angle Q = \angle Y$, $\angle R = \angle Z$. По признаку подобия треугольников по трем углам (AAA), если соответствующие углы двух треугольников равны, то такие треугольники подобны. Также можно рассмотреть отношение сторон: $\frac{PQ}{XY} = \frac{p}{x}$
$\frac{QR}{YZ} = \frac{p}{x}$
$\frac{RP}{ZX} = \frac{p}{x}$
Так как все отношения сторон равны одному и тому же значению $\frac{p}{x}$, то стороны пропорциональны. По признаку подобия треугольников по трем сторонам (SSS), если соответствующие стороны двух треугольников пропорциональны, то такие треугольники подобны. Таким образом, два равносторонних треугольника всегда подобны.

Ответ: Доказано.

1. Построение равностороннего $\triangle ABC$ со стороной 6 см:
а) Проведите отрезок $AC$ длиной 6 см.
б) Из точки $A$ как центра проведите дугу окружности радиусом 6 см.
в) Из точки $C$ как центра проведите дугу окружности радиусом 6 см.
г) Точка пересечения дуг является вершиной $B$. Соедините точки $A$, $B$ и $C$ отрезками, чтобы получить равносторонний $\triangle ABC$.

2. Построение прямой $MN$ для $\triangle ABC \sim \triangle MNC$ с коэффициентом подобия $k_1 = \frac{2}{3}$:
Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, то и $\triangle MNC$ будет равносторонним. Вершина $C$ общая для обоих треугольников в подобии $\triangle ABC \sim \triangle MNC$. Это означает, что $M$ лежит на $AC$ и $N$ лежит на $BC$.
Сторона $\triangle MNC$, обозначим ее $a_{MNC}$, связана со стороной $\triangle ABC$, $a_{ABC}$, соотношением:
$a_{MNC} = k_1 \cdot a_{ABC} = \frac{2}{3} \cdot 6 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Таким образом, $MC = 4$ см и $NC = 4$ см. Для построения $MN$: Отложите на отрезке $AC$ от точки $C$ отрезок $MC$ длиной 4 см. Отложите на отрезке $BC$ от точки $C$ отрезок $NC$ длиной 4 см. Соедините точки $M$ и $N$ отрезком. Отрезок $MN$ будет параллелен $AB$.

3. Построение прямой $M_1N_1$ для $\triangle ABC \sim \triangle M_1N_1C$ с коэффициентом подобия $k_2 = \frac{1}{3}$:
Аналогично, $\triangle M_1N_1C$ будет равносторонним. Вершина $C$ общая, $M_1$ лежит на $AC$, $N_1$ лежит на $BC$.
Сторона $\triangle M_1N_1C$, обозначим ее $a_{M_1N_1C}$, связана со стороной $\triangle ABC$ соотношением:
$a_{M_1N_1C} = k_2 \cdot a_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 6 \text{ см} = 2 \text{ см}$.
Таким образом, $M_1C = 2$ см и $N_1C = 2$ см. Для построения $M_1N_1$: Отложите на отрезке $AC$ от точки $C$ отрезок $M_1C$ длиной 2 см. Отложите на отрезке $BC$ от точки $C$ отрезок $N_1C$ длиной 2 см. Соедините точки $M_1$ и $N_1$ отрезком. Отрезок $M_1N_1$ будет параллелен $AB$.

4. Подобие треугольников $MNC$ и $M_1N_1C$:
Как было показано в части а), все равносторонние треугольники подобны. Поскольку $\triangle MNC$ подобен $\triangle ABC$, а $\triangle ABC$ равносторонний, то $\triangle MNC$ является равносторонним. Аналогично, $\triangle M_1N_1C$ является равносторонним. Следовательно, треугольники $MNC$ и $M_1N_1C$ подобны.

5. Коэффициент подобия $\triangle MNC$ и $\triangle M_1N_1C$:
Найдем отношение сторон этих треугольников.
Сторона $\triangle MNC$ равна $a_{MNC} = 4$ см.
Сторона $\triangle M_1N_1C$ равна $a_{M_1N_1C} = 2$ см.
Коэффициент подобия $k'$ для $\triangle MNC \sim \triangle M_1N_1C$ равен отношению их соответствующих сторон:
$k' = \frac{a_{MNC}}{a_{M_1N_1C}} = \frac{4 \text{ см}}{2 \text{ см}} = 2$.
Или, используя коэффициенты подобия к $\triangle ABC$:
$k' = \frac{k_1 \cdot a_{ABC}}{k_2 \cdot a_{ABC}} = \frac{k_1}{k_2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1} = 2$.

Ответ: Треугольники $MNC$ и $M_1N_1C$ подобны. Коэффициент подобия равен $2$.