Вопросы, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какие два треугольника называются подобными?

2. Сформулируйте и докажите признаки подобия двух треугольников.

3. Какие признаки подобия двух прямоугольных треугольников вы знаете?

1. Какие два треугольника называются подобными?

Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Ответ: Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны.

2. Сформулируйте и докажите признаки подобия двух треугольников.

Существуют три основных признака подобия треугольников:

1. Признак подобия по двум углам (УУ):
Формулировка: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, в которых $\angle A = \angle A'$ и $\angle B = \angle B'$.
Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$ и $\angle C' = 180^\circ - (\angle A' + \angle B')$. Из равенства углов $A$ и $A'$, $B$ и $B'$ следует, что $\angle C = \angle C'$.
Для доказательства пропорциональности сторон наложим $\triangle A'B'C'$ на $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A'$ совпала с $A$, а сторона $A'B'$ легла на $AB$, $A'C'$ на $AC$. Отметим на $AB$ точку $B_1$ и на $AC$ точку $C_1$ так, что $AB_1 = A'B'$ и $AC_1 = A'C'$. Тогда $\triangle AB_1C_1 \cong \triangle A'B'C'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Поскольку $\angle B_1 = \angle B'$ (как соответствующие углы равных треугольников) и по условию $\angle B = \angle B'$, то $\angle B_1 = \angle B$. Это означает, что прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$ (по признаку параллельности прямых при секущей $AB$).
По теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса в расширенном виде) для параллельных линий $B_1C_1$ и $BC$, пересекающих стороны угла $A$, имеем $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC}$.
Так как $AB_1 = A'B'$, $AC_1 = A'C'$, $B_1C_1 = B'C'$, то получаем $\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$. Таким образом, соответствующие стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны.

2. Признак подобия по двум сторонам и углу между ними (СУС):
Формулировка: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, в которых $\angle A = \angle A'$ и $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$. Обозначим коэффициент пропорциональности $k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$.
Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$, где $A_1 = A$, $B_1$ лежит на $AB$, $C_1$ лежит на $AC$, и $AB_1 = A'B'$, $AC_1 = A'C'$.
Поскольку $\frac{AB}{A'B'} = k$, то $AB = k \cdot A'B'$. Аналогично $AC = k \cdot A'C'$.
Тогда, если мы построим треугольник $A_1B_1C_1$ так, что $A_1 = A$, $A_1B_1$ совпадает с $AB$, $A_1C_1$ совпадает с $AC$, и $A_1B_1 = A'B'$, $A_1C_1 = A'C'$.
На луче $AB$ отложим отрезок $AB_2 = A'B'$, а на луче $AC$ отложим отрезок $AC_2 = A'C'$. Треугольник $AB_2C_2$ равен треугольнику $A'B'C'$ по двум сторонам и углу между ними ($AB_2 = A'B'$, $AC_2 = A'C'$, $\angle A = \angle A'$).
Из равенства $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$ следует $\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2}$. Построим прямую $B_2C_2$.
Если $\triangle ABC$ подобен $\triangle A'B'C'$, то $\triangle ABC$ должен быть подобен $\triangle AB_2C_2$.
Поскольку $\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2}$ и $\angle A$ - общий, то $\triangle ABC$ подобен $\triangle AB_2C_2$ (это следует из теоремы Фалеса и свойства о параллельных прямых, что $B_2C_2 \parallel BC$ ). Поскольку $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A'B'C'$, то $\triangle ABC$ подобен $\triangle A'B'C'$.

3. Признак подобия по трем сторонам (ССС):
Формулировка: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, в которых $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$. Обозначим этот общий коэффициент пропорциональности $k$.
Построим треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы он был равен $\triangle A'B'C'$ и при этом $\angle A_1 = \angle A'$ и $\angle C_1 = \angle C'$ (такой треугольник существует по первому признаку равенства, например, SAS, отложив стороны $A_1B_1=A'B'$ и $A_1C_1=A'C'$ и угол $A_1=A'$).
Тогда $\triangle A_1B_1C_1$ подобен $\triangle A'B'C'$ по первому признаку подобия (УУ), и коэффициент подобия равен 1. То есть, $A_1B_1 = A'B'$, $A_1C_1 = A'C'$, $B_1C_1 = B'C'$.
По условию, $AB = k \cdot A'B'$, $AC = k \cdot A'C'$, $BC = k \cdot B'C'$.
То есть, $AB = k \cdot A_1B_1$, $AC = k \cdot A_1C_1$, $BC = k \cdot B_1C_1$.
Это означает, что стороны треугольника $\triangle ABC$ пропорциональны сторонам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом $k$.
Поскольку все соответствующие стороны пропорциональны, то $\triangle ABC$ подобен $\triangle A_1B_1C_1$ по определению подобия (стороны пропорциональны).
Так как $\triangle A_1B_1C_1$ равен $\triangle A'B'C'$, то $\triangle ABC$ подобен $\triangle A'B'C'$.

Ответ: Признаки подобия треугольников: по двум углам (УУ), по двум сторонам и углу между ними (СУС), по трем сторонам (ССС).

3. Какие признаки подобия двух прямоугольных треугольников вы знаете?

Для прямоугольных треугольников, поскольку один из углов (прямой угол) всегда равен $90^\circ$, признаки подобия упрощаются:

1. По острому углу:
Формулировка: Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Это частный случай признака подобия по двум углам (УУ), так как помимо равных острых углов, у них также равны прямые углы ($90^\circ$).

2. По отношению двух катетов:
Формулировка: Если отношение двух катетов одного прямоугольного треугольника равно отношению двух катетов другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Это частный случай признака подобия по двум сторонам и углу между ними (СУС), так как угол между катетами всегда равен $90^\circ$ и, следовательно, равен углу между катетами другого прямоугольного треугольника.

3. По отношению катета и гипотенузы:
Формулировка: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны соответствующему катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ (прямой угол при $C$) и $\triangle A'B'C'$ (прямой угол при $C'$), и пусть $\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} = k$.
По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2 - AC^2$.
Для $\triangle A'B'C'$: $(B'C')^2 = (A'B')^2 - (A'C')^2$.
Подставим $AC = k \cdot A'C'$ и $AB = k \cdot A'B'$ в первое уравнение:
$BC^2 = (k \cdot A'B')^2 - (k \cdot A'C')^2 = k^2 (A'B')^2 - k^2 (A'C')^2 = k^2 ((A'B')^2 - (A'C')^2)$.
Так как $(A'B')^2 - (A'C')^2 = (B'C')^2$, то $BC^2 = k^2 (B'C')^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем $BC = k \cdot B'C'$ (длина стороны положительна).
Таким образом, все три стороны треугольников пропорциональны: $\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = k$.
Следовательно, по признаку подобия по трем сторонам (ССС), $\triangle ABC$ подобен $\triangle A'B'C'$.

Ответ: Признаки подобия прямоугольных треугольников: по острому углу; по отношению двух катетов; по отношению катета и гипотенузы.