Номер 176, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

176. По данным на рисунках 121, а, б, в найдите х.

а)

$1.2, 1, x, 4.4$

б)

$2, 3, x, 3$

в)

$6, 2, x$

Рисунок 121

а)

Дано:

Треугольник $ABC$.

На стороне $AB$ точка $D$, на стороне $BC$ точка $F$.

Отрезок $DF$ параллелен $AC$ (из-за того, что $DD_p$ и $FF_p$ перпендикулярны $AC$, где $D_p, F_p$ – проекции $D, F$ на $AC$, образуя прямоугольник $DD_p F_p F$, при этом $DF$ является стороной этого прямоугольника и, следовательно, параллелен $D_p F_p$, лежащей на $AC$).

$AD = 1.2$

$DB = 1$

$AC = 4.4$

$DF = x$

Найти:

$x$

Решение:

Так как $DF$ параллелен $AC$, то треугольник $BDF$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам: угол $B$ у них общий, а углы $\angle BDF$ и $\angle BAC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $DF$ и $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{DF}{AC} = \frac{BD}{BA}$

Найдем длину стороны $BA$:

$BA = BD + AD = 1 + 1.2 = 2.2$

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{x}{4.4} = \frac{1}{2.2}$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{1 \times 4.4}{2.2}$

$x = \frac{4.4}{2.2}$

$x = 2$

Ответ: 2

б)

Дано:

Четырехугольник $MNPQ$, изображенный как параллелограмм.

$NK$ - высота из вершины $N$ на сторону $MQ$, $NK=3$.

$MK=2$ (отрезок на стороне $MQ$).

$NT$ - высота из вершины $N$ на сторону $QP$, $NT=3$.

$x$ - длина диагонали $NQ$.

Найти:

$x$

Решение:

Площадь параллелограмма может быть выражена как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. В данном случае:

$S_{MNPQ} = MQ \times NK$

$S_{MNPQ} = QP \times NT$

Так как $NK = NT = 3$, то $MQ \times 3 = QP \times 3$, что означает $MQ = QP$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, все стороны ромба $MNPQ$ равны: $MN = NP = PQ = QM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $NKM$ (угол $K$ прямой, так как $NK$ - высота). По теореме Пифагора:

$MN^2 = NK^2 + MK^2$

$MN^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

$MN = \sqrt{13}$

Таким образом, все стороны ромба равны $\sqrt{13}$.

Найдем косинус угла $M$ ромба (угол $\angle NMQ$). В прямоугольном треугольнике $NKM$:

$\cos(\angle NMQ) = \frac{MK}{MN} = \frac{2}{\sqrt{13}}$

Теперь рассмотрим треугольник $NQM$. Стороны $NM = \sqrt{13}$ и $QM = \sqrt{13}$. Нам нужно найти сторону $NQ = x$. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $NQM$:

$NQ^2 = NM^2 + QM^2 - 2 \cdot NM \cdot QM \cdot \cos(\angle NMQ)$

$x^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{13})^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}}$

$x^2 = 13 + 13 - 2 \cdot 13 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}}$

$x^2 = 26 - \frac{52}{\sqrt{13}}$

$x^2 = 26 - \frac{52\sqrt{13}}{13}$

$x^2 = 26 - 4\sqrt{13}$

$x = \sqrt{26 - 4\sqrt{13}}$

Ответ: $\sqrt{26 - 4\sqrt{13}}$

в)

Дано:

Треугольник $QRS$.

$SE$ является биссектрисой угла $S$, то есть $\angle QSE = \angle ESR$ (отмечено одинаковыми дугами на рисунке).

$QE = 6$

$ER = 2$

Из рисунка видно, что $\angle Q = \angle ESR$ (по одинаковым дуговым меткам углов).

$SR = x$

Найти:

$x$

Решение:

Рассмотрим треугольники $RQS$ и $RSE$.

1. Угол $\angle R$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle Q$ в треугольнике $RQS$ равен углу $\angle ESR$ в треугольнике $RSE$ (дано на рисунке, отмечено одинаковыми дугами).

Следовательно, треугольники $RQS$ и $RSE$ подобны по двум углам (признак АА подобия). Соответствие вершин: $R \leftrightarrow R$, $Q \leftrightarrow S$, $S \leftrightarrow E$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{RQ}{RS} = \frac{RS}{RE} = \frac{QS}{SE}$

Используем первое отношение:

$\frac{RQ}{RS} = \frac{RS}{RE}$

Найдем длину стороны $RQ$ (или $QR$):

$QR = QE + ER = 6 + 2 = 8$

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{8}{x} = \frac{x}{2}$

Перемножим крест-накрест:

$x \times x = 8 \times 2$

$x^2 = 16$

$x = \sqrt{16}$

$x = 4$ (длина не может быть отрицательной)

Ответ: 4