Номер 180, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

180. В остроугольном $\triangle ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$, причем $AB_1 = B_1C = 5$ см, $AA_1 = 8$ см. Докажите, что $\triangle AA_1C \sim \triangle BB_1C$ и найдите площадь $\triangle ABC$.

Дано:

Треугольник $\Delta ABC$ — остроугольный.
$AA_1$ — высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$.
$BB_1$ — высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$.
$AB_1 = 5 \text{ см}$
$B_1C = 5 \text{ см}$
$AA_1 = 8 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$AB_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$B_1C = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$AA_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

1. Доказать, что $\Delta AA_1C \sim \Delta BB_1C$
2. Площадь $S_{\Delta ABC}$

Решение

Докажите, что $\Delta AA_1C \sim \Delta BB_1C$

Рассмотрим два треугольника: $\Delta AA_1C$ и $\Delta BB_1C$. Так как $AA_1$ является высотой в $\Delta ABC$, она перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, $\angle AA_1C = 90^\circ$.

Аналогично, так как $BB_1$ является высотой в $\Delta ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, $\angle BB_1C = 90^\circ$.

Таким образом, мы имеем два прямых угла: $\angle AA_1C = \angle BB_1C = 90^\circ$.

Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников ($\Delta AA_1C$ и $\Delta BB_1C$).

По первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Поскольку $\angle AA_1C = \angle BB_1C$ и $\angle C$ - общий угол, то треугольники $\Delta AA_1C$ и $\Delta BB_1C$ подобны.

Ответ: Доказано.

Найдите площадь $\Delta ABC$

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае, нам известна высота $AA_1 = 8 \text{ см}$. Соответствующей ей стороной-основанием является $BC$. Таким образом, $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1$. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить длину стороны $BC$.

Из условия дано, что $AB_1 = 5 \text{ см}$ и $B_1C = 5 \text{ см}$. Тогда длина стороны $AC$ равна: $AC = AB_1 + B_1C = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta AA_1C$ (так как $AA_1$ - высота, то $\angle AA_1C = 90^\circ$). В этом треугольнике известны катет $AA_1 = 8 \text{ см}$ и гипотенуза $AC = 10 \text{ см}$. По теореме Пифагора $AC^2 = AA_1^2 + A_1C^2$. Выразим $A_1C^2$: $A_1C^2 = AC^2 - AA_1^2$. $A_1C^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$. $A_1C = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

Из доказанного подобия треугольников $\Delta AA_1C \sim \Delta BB_1C$ следует, что отношения соответствующих сторон равны: $\frac{AA_1}{BB_1} = \frac{A_1C}{B_1C} = \frac{AC}{BC}$.

Воспользуемся отношением $\frac{A_1C}{B_1C} = \frac{AC}{BC}$. Подставим известные значения: $A_1C = 6 \text{ см}$, $B_1C = 5 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$. $\frac{6}{5} = \frac{10}{BC}$.

Решим это уравнение относительно $BC$: $6 \cdot BC = 5 \cdot 10$ $6 \cdot BC = 50$ $BC = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \text{ см}$.

Теперь, когда известны длина основания $BC = \frac{25}{3} \text{ см}$ и длина высоты $AA_1 = 8 \text{ см}$, можем найти площадь $\Delta ABC$: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1$ $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{3} \cdot 8$ $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{200}{3}$ $S_{\Delta ABC} = \frac{100}{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{\Delta ABC} = \frac{100}{3} \text{ см}^2$.