Номер 184, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

184. В треугольниках $ABC$ и $MNK$ $\angle B = \angle N$, $\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{2}{3}$.

Найдите $AC$ и $MK$, если $AC + MK = 20$ см.

Дано:

треугольники $ABC$ и $MNK$

$\angle B = \angle N$

$\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{2}{3}$

$AC + MK = 20 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AC + MK = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$AC$, $MK$

Решение:

По условию задачи, в треугольниках $ABC$ и $MNK$ углы $\angle B$ и $\angle N$ равны, и отношение сторон, прилежащих к этим углам, одинаково: $\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{2}{3}$.

Согласно признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS - Side-Angle-Side), если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следовательно, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $MNK$ ($\triangle ABC \sim \triangle MNK$) с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение всех соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Таким образом, отношение третьих сторон $AC$ и $MK$ также равно $k$:

$\frac{AC}{MK} = \frac{2}{3}$

У нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $AC$ и $MK$:

$1) \frac{AC}{MK} = \frac{2}{3}$

$2) AC + MK = 20$

Из первого уравнения выразим $AC$ через $MK$:

$AC = \frac{2}{3} MK$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{2}{3} MK + MK = 20$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2}{3} MK + \frac{3}{3} MK = 20$

$\frac{5}{3} MK = 20$

Теперь найдем $MK$:

$MK = 20 \times \frac{3}{5}$

$MK = \frac{60}{5}$

$MK = 12 \text{ см}$

Теперь найдем $AC$, используя выражение $AC = \frac{2}{3} MK$:

$AC = \frac{2}{3} \times 12$

$AC = 2 \times 4$

$AC = 8 \text{ см}$

Ответ:

$AC = 8 \text{ см}$, $MK = 12 \text{ см}$