Практическое задание, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте равнобедренную трапецию. Проведите прямую параллельную основаниям, которая делит высоту трапеции в отношении $2:1$. Являются ли две полученные при этом трапеции подобными? Чему равно отношение их боковых сторон?

Дано

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Прямая $EF$ параллельна основаниям $AD$ и $BC$ ($EF \parallel AD \parallel BC$). Точка $E$ лежит на боковой стороне $AB$, точка $F$ — на боковой стороне $CD$.

Прямая $EF$ делит высоту трапеции $h$ в отношении $2:1$. Пусть $h_1$ — высота верхней трапеции $AEFD$ (отрезок высоты от $AD$ до $EF$), и $h_2$ — высота нижней трапеции $BCFE$ (отрезок высоты от $EF$ до $BC$). Тогда $h_1 : h_2 = 2 : 1$.

Найти:

1. Являются ли две полученные при этом трапеции ($AEFD$ и $BCFE$) подобными?

2. Чему равно отношение их боковых сторон?

Решение

Являются ли две полученные при этом трапеции подобными?

Для того чтобы две трапеции были подобными, необходимо, чтобы их соответствующие углы были равны, а отношения соответствующих сторон — пропорциональны.

Пусть в исходной равнобедренной трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны $\angle A = \angle D = \alpha$, а углы при основании $BC$ равны $\angle B = \angle C = \beta$. Поскольку $AD \parallel BC$, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Прямая $EF$, параллельная основаниям, делит исходную трапецию на две новые трапеции: $AEFD$ и $BCFE$.

Рассмотрим углы трапеции $AEFD$ (с основаниями $AD$ и $EF$):

• Углы при нижнем основании $AD$: $\angle A = \alpha$ и $\angle D = \alpha$.

• Углы при верхнем основании $EF$: $\angle AEF$ и $\angle DFE$. Так как $EF \parallel AD$, эти углы являются односторонними с углами $\angle A$ и $\angle D$ соответственно. Следовательно, $\angle AEF = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \alpha = \beta$ и $\angle DFE = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - \alpha = \beta$.

Таким образом, набор углов трапеции $AEFD$ (при движении по периметру или по парам соответствующих углов) равен $(\alpha, \alpha, \beta, \beta)$.

Рассмотрим углы трапеции $BCFE$ (с основаниями $EF$ и $BC$):

• Углы при нижнем основании $EF$: $\angle BEF$ и $\angle CFE$. Так как $EF \parallel BC$, эти углы являются односторонними с углами $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. Следовательно, $\angle BEF = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - \beta = \alpha$ и $\angle CFE = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - \beta = \alpha$.

• Углы при верхнем основании $BC$: $\angle EBC = \angle B = \beta$ и $\angle FCD = \angle C = \beta$.

Таким образом, набор углов трапеции $BCFE$ (при движении по периметру или по парам соответствующих углов) равен $(\alpha, \alpha, \beta, \beta)$, но при этом углы $\beta$ расположены у нижнего основания $BC$, а углы $\alpha$ — у верхнего основания $EF$. То есть, если мы хотим сопоставить углы $AEFD$ и $BCFE$ для подобия, мы должны сравнивать $\angle A$ с $\angle BEF$ (оба $\alpha$) и $\angle AEF$ с $\angle EBC$ (оба $\beta$).

Для того чтобы эти трапеции были подобны, их углы должны быть равны в соответствующем порядке. Трапеция $AEFD$ имеет углы при одном основании $\alpha$ и при другом $\beta$. Трапеция $BCFE$ имеет углы при одном основании $\beta$ и при другом $\alpha$. Эти наборы углов будут совпадать (трапеции будут подобны) только в том случае, если $\alpha = \beta$.

Равенство $\alpha = \beta$ в равнобедренной трапеции возможно только тогда, когда $2\alpha = 180^\circ$, то есть $\alpha = 90^\circ$. В этом случае исходная трапеция является прямоугольником. Если исходная трапеция не является прямоугольником (т.е. $\alpha \neq 90^\circ$), то $\alpha \neq \beta$.

Следовательно, в общем случае, углы двух полученных трапеций не совпадают, и они не являются подобными.

Ответ: Нет, две полученные трапеции не являются подобными, за исключением частного случая, когда исходная трапеция является прямоугольником (то есть все углы равны $90^\circ$).

Чему равно отношение их боковых сторон?

Пусть боковая сторона исходной равнобедренной трапеции $ABCD$ равна $L = AB = CD$.

Прямая $EF$ параллельна основаниям трапеции. Известно, что прямая, параллельная основаниям трапеции, делит ее боковые стороны в том же отношении, в котором она делит высоту трапеции.

В условии задачи сказано, что высота трапеции делится в отношении $2:1$. Мы приняли, что $h_1 : h_2 = 2 : 1$, где $h_1$ — высота верхней трапеции $AEFD$ (от $AD$ до $EF$), а $h_2$ — высота нижней трапеции $BCFE$ (от $EF$ до $BC$).

Боковая сторона верхней трапеции $AEFD$ — это отрезок $AE$.

Боковая сторона нижней трапеции $BCFE$ — это отрезок $EB$.

Поскольку прямая $EF$ делит высоту в отношении $h_1 : h_2 = 2 : 1$, то она делит и боковые стороны в том же отношении.

Таким образом, отношение отрезков боковой стороны $AB$ будет $AE : EB = h_1 : h_2$.

Следовательно, $AE : EB = 2 : 1$.

Поэтому отношение боковых сторон полученных трапеций (боковой стороны $AE$ верхней трапеции к боковой стороне $EB$ нижней трапеции) равно $2:1$.

Ответ: Отношение их боковых сторон равно $2:1$.