Вопросы, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Какие два $n$-угольника называются подобными?

2. Сформулируйте и докажите теоремы: а) об отношении периметров подобных многоугольников; б) об отношении площадей подобных многоугольников.

1. Какие два n-угольника называются подобными?

Два $n$-угольника называются подобными, если существует взаимно однозначное соответствие между их вершинами такое, что:

• их соответствующие углы равны;
• их соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности соответствующих сторон называется коэффициентом подобия и обычно обозначается $k$.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите теоремы: а) об отношении периметров подобных многоугольников; б) об отношении площадей подобных многоугольников.

а) об отношении периметров подобных многоугольников

Теорема: Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство:

Пусть даны два подобных $n$-угольника $A_1A_2...A_n$ и $A'_1A'_2...A'_n$ с коэффициентом подобия $k$.

По определению подобных многоугольников, их соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом $k$. То есть:

$\frac{A'_1A'_2}{A_1A_2} = \frac{A'_2A'_3}{A_2A_3} = ... = \frac{A'_nA'_1}{A_nA_1} = k$

Из этого следует, что длины сторон второго многоугольника можно выразить через длины сторон первого многоугольника:

$A'_1A'_2 = k \cdot A_1A_2$

$A'_2A'_3 = k \cdot A_2A_3$

...

$A'_nA'_1 = k \cdot A_nA_1$

Периметр первого многоугольника $P$ равен сумме длин его сторон:

$P = A_1A_2 + A_2A_3 + ... + A_nA_1$

Периметр второго многоугольника $P'$ равен сумме длин его сторон:

$P' = A'_1A'_2 + A'_2A'_3 + ... + A'_nA'_1$

Подставим выражения для сторон $A'_iA'_{i+1}$ в формулу для $P'$:

$P' = (k \cdot A_1A_2) + (k \cdot A_2A_3) + ... + (k \cdot A_nA_1)$

Вынесем коэффициент $k$ за скобки:

$P' = k \cdot (A_1A_2 + A_2A_3 + ... + A_nA_1)$

Так как выражение в скобках равно периметру $P$ первого многоугольника, получаем:

$P' = k \cdot P$

Таким образом, отношение периметров равно:

$\frac{P'}{P} = k$

Теорема доказана.

Ответ:

б) об отношении площадей подобных многоугольников

Теорема: Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:

Рассмотрим два подобных $n$-угольника $M$ и $M'$ с коэффициентом подобия $k$.

Любой многоугольник можно разбить на $n-2$ треугольника, проводя диагонали из одной его вершины. Если два многоугольника подобны, то соответствующие треугольники, на которые они разбиваются, также подобны, и коэффициент их подобия равен $k$.

Рассмотрим два подобных треугольника $T_i$ и $T'_i$, которые являются соответствующими частями многоугольников $M$ и $M'$. Пусть сторона треугольника $T_i$ равна $a_i$, а соответствующая ей высота $h_i$. Тогда площадь $S_i$ этого треугольника равна $S_i = \frac{1}{2} a_i h_i$.

Для подобного ему треугольника $T'_i$ соответствующие сторона и высота будут $a'_i = k \cdot a_i$ и $h'_i = k \cdot h_i$. Площадь $S'_i$ этого треугольника равна $S'_i = \frac{1}{2} a'_i h'_i$.

Найдем отношение площадей этих двух подобных треугольников:

$\frac{S'_i}{S_i} = \frac{\frac{1}{2} a'_i h'_i}{\frac{1}{2} a_i h_i} = \frac{a'_i h'_i}{a_i h_i}$

Подставим выражения для $a'_i$ и $h'_i$ через $k$, $a_i$ и $h_i$:

$\frac{S'_i}{S_i} = \frac{(k \cdot a_i) (k \cdot h_i)}{a_i h_i} = \frac{k^2 \cdot a_i h_i}{a_i h_i} = k^2$

Таким образом, отношение площадей любых двух соответствующих подобных треугольников, составляющих многоугольники, равно $k^2$.

Пусть площади треугольников, составляющих многоугольник $M$, равны $S_1, S_2, ..., S_{n-2}$. Тогда общая площадь многоугольника $M$ равна $S = S_1 + S_2 + ... + S_{n-2}$.

Соответственно, площади треугольников, составляющих многоугольник $M'$, равны $S'_1, S'_2, ..., S'_{n-2}$, где $S'_j = k^2 S_j$ для каждого $j$.

Общая площадь многоугольника $M'$ равна $S' = S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2}$.

Подставим значения $S'_j$:

$S' = k^2 S_1 + k^2 S_2 + ... + k^2 S_{n-2}$

Вынесем $k^2$ за скобки:

$S' = k^2 (S_1 + S_2 + ... + S_{n-2})$

Так как выражение в скобках равно $S$, получаем:

$S' = k^2 S$

Следовательно, отношение площадей:

$\frac{S'}{S} = k^2$

Теорема доказана.

Ответ: