Номер 193, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

193. a) Делит ли разносторонний треугольник на два подобных треугольника его биссектриса?

б) Биссектриса $AL$ треугольника $ABC$ делит сторону $BC$ на отрезки $BL = 2,1$ см, $LC = 8,4$ см. Найдите отношение $AC : AB$.

в) Стороны треугольника равны 4,8 м, 1,6 м и 6 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 15,5 м.

а) Делит ли разносторонний треугольник на два подобных треугольника его биссектриса?

Биссектриса угла треугольника делит его на два меньших треугольника. Пусть биссектриса $AL$ треугольника $ABC$ делит его на $\triangle ABL$ и $\triangle ACL$.

Для того чтобы эти два треугольника были подобными ($\triangle ABL \sim \triangle ACL$), их соответствующие углы должны быть равны.

По определению биссектрисы, $\angle BAL = \angle CAL$.

Если $\triangle ABL \sim \triangle ACL$, то должны выполняться следующие условия для соответствующих углов: $\angle BAL = \angle CAL$ (уже известно), $\angle ABL = \angle ACL$ (то есть $\angle B = \angle C$), и $\angle ALB = \angle CLA$.

Так как углы $\angle ALB$ и $\angle CLA$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Если они равны, то $\angle ALB = \angle CLA = 90^\circ$. Это означает, что биссектриса $AL$ также является высотой.

Если в треугольнике биссектриса является и высотой, то такой треугольник является равнобедренным относительно вершины, из которой проведена эта биссектриса (в данном случае $AB = AC$).

По условию задачи, рассматривается разносторонний треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. Следовательно, в разностороннем треугольнике не может выполняться условие $AB = AC$, а значит, его биссектриса не может быть одновременно высотой и делить треугольник на два подобных.

Ответ: Нет

б) Биссектриса AL треугольника ABC делит сторону BC на отрезки BL = 2,1 см, LC = 8,4 см. Найдите отношение AC : AB.

Дано:

Биссектриса $AL$ треугольника $ABC$.

$BL = 2.1 \text{ см}$

$LC = 8.4 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$BL = 2.1 \text{ см} = 0.021 \text{ м}$

$LC = 8.4 \text{ см} = 0.084 \text{ м}$

Найти:

Отношение $AC : AB$

Решение:

Согласно теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Для биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ это означает:

$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$

Нам нужно найти отношение $AC : AB$. Перевернем обе части равенства:

$\frac{LC}{BL} = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения:

$\frac{AC}{AB} = \frac{8.4}{2.1}$

Выполним деление:

$\frac{AC}{AB} = 4$

Ответ: 4

в) Стороны треугольника равны 4,8 м, 1,6 м и 6 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 15,5 м.

Дано:

Стороны первого треугольника: $a_1 = 4.8 \text{ м}$, $b_1 = 1.6 \text{ м}$, $c_1 = 6 \text{ м}$.

Периметр подобного ему треугольника: $P_2 = 15.5 \text{ м}$.

Перевод в СИ:

Все величины уже даны в метрах, что является основной единицей длины в системе СИ. Перевод не требуется.

Найти:

Стороны второго треугольника: $a_2, b_2, c_2$.

Решение:

Сначала найдем периметр первого треугольника $P_1$:

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 4.8 + 1.6 + 6 = 12.4 \text{ м}$

Для подобных треугольников отношение периметров равно коэффициенту подобия $k$:

$k = \frac{P_2}{P_1}$

Подставим известные значения периметров:

$k = \frac{15.5}{12.4}$

Вычислим коэффициент подобия:

$k = 1.25$

Теперь, используя коэффициент подобия, найдем стороны второго треугольника. Каждая сторона второго треугольника равна соответствующей стороне первого треугольника, умноженной на коэффициент подобия:

$a_2 = k \cdot a_1 = 1.25 \cdot 4.8 = 6 \text{ м}$

$b_2 = k \cdot b_1 = 1.25 \cdot 1.6 = 2 \text{ м}$

$c_2 = k \cdot c_1 = 1.25 \cdot 6 = 7.5 \text{ м}$

Проверим сумму сторон второго треугольника (его периметр):

$P_2 = 6 + 2 + 7.5 = 15.5 \text{ м}$. Это соответствует заданному периметру.

Ответ: Стороны подобного треугольника равны 6 м, 2 м и 7.5 м.