Номер 199, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

199. Сторона первого квадрата составляет $1/3$ стороны второго квадрата. На сколько процентов:

a) площадь второго квадрата больше площади первого квадрата;

б) площадь первого квадрата меньше площади второго квадрата?

Дано

Сторона первого квадрата: $a_1$
Сторона второго квадрата: $a_2$
Соотношение сторон: $a_1 = \frac{1}{3} a_2$

Перевод в СИ

Поскольку задача оперирует отношениями сторон и площадей, конкретные единицы измерения не влияют на результат. Если бы стороны были заданы, например, в метрах (м), то и площади были бы в квадратных метрах ($м^2$). В данном случае, мы работаем с безразмерными отношениями.

Найти

a) На сколько процентов площадь второго квадрата больше площади первого квадрата?
б) На сколько процентов площадь первого квадрата меньше площади второго квадрата?

Решение

Обозначим площадь первого квадрата как $S_1$ и площадь второго квадрата как $S_2$.

Формула площади квадрата: $S = a^2$, где $a$ — длина стороны квадрата.

Таким образом:

$S_1 = a_1^2$

$S_2 = a_2^2$

Из условия задачи нам дано соотношение сторон: $a_1 = \frac{1}{3} a_2$.

Из этого соотношения мы можем выразить сторону второго квадрата через сторону первого: $a_2 = 3 a_1$.

Теперь подставим это выражение для $a_2$ в формулу площади второго квадрата $S_2$:

$S_2 = (3 a_1)^2$

$S_2 = 9 a_1^2$

Так как $S_1 = a_1^2$, мы можем заменить $a_1^2$ на $S_1$ в выражении для $S_2$:

$S_2 = 9 S_1$

Это означает, что площадь второго квадрата в 9 раз больше площади первого квадрата.

a) площадь второго квадрата больше площади первого квадрата?

Чтобы определить, на сколько процентов площадь второго квадрата ($S_2$) больше площади первого квадрата ($S_1$), мы используем формулу процентного увеличения, где за базу берется $S_1$:

Процентное увеличение $= \frac{S_2 - S_1}{S_1} \times 100\%$

Подставляем $S_2 = 9 S_1$:

Процентное увеличение $= \frac{9 S_1 - S_1}{S_1} \times 100\%$

Процентное увеличение $= \frac{8 S_1}{S_1} \times 100\%$

Процентное увеличение $= 8 \times 100\%$

Процентное увеличение $= 800\%$

Ответ: 800%

б) площадь первого квадрата меньше площади второго квадрата?

Чтобы определить, на сколько процентов площадь первого квадрата ($S_1$) меньше площади второго квадрата ($S_2$), мы используем формулу процентного уменьшения, где за базу берется $S_2$:

Процентное уменьшение $= \frac{S_2 - S_1}{S_2} \times 100\%$

Подставляем $S_2 = 9 S_1$:

Процентное уменьшение $= \frac{9 S_1 - S_1}{9 S_1} \times 100\%$

Процентное уменьшение $= \frac{8 S_1}{9 S_1} \times 100\%$

Процентное уменьшение $= \frac{8}{9} \times 100\%$

Вычислим значение дроби: $\frac{8}{9} \approx 0.8888...$

Процентное уменьшение $\approx 0.8888... \times 100\%$

Процентное уменьшение $\approx 88.89\%$

Точное значение можно выразить в виде смешанной дроби: $\frac{800}{9}\% = 88 \frac{8}{9}\%$.

Ответ: $88 \frac{8}{9}\%$ или приблизительно 88.89%