Номер 206, страница 96 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

206. В $\triangle ABC$ вписан параллелограмм $AMNP$ так, что точки $M, N, P$ лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно. Известно, что $AB = 6 \text{ см}$, $AC = 8 \text{ см}$ и $MN : NP = 2 : 1$. Найдите периметр параллелограмма.

Дано:
$\triangle ABC$
Параллелограмм $AMNP$ вписан в $\triangle ABC$.
Точки $M, N, P$ лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно.
$AB = 6 \text{ см}$
$AC = 8 \text{ см}$
$MN : NP = 2 : 1$

Перевод в СИ:
$AB = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$AC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:
Периметр параллелограмма $AMNP$.

Решение:
Пусть стороны параллелограмма $AMNP$ имеют длины $AM = NP = x$ и $AP = MN = y$.
По условию задачи, отношение сторон $MN : NP = 2 : 1$, что означает $y : x = 2 : 1$. Отсюда следует, что $y = 2x$.
Поскольку $AMNP$ является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $NP$ параллельна $AM$, а значит, $NP \parallel AB$.
Также сторона $MN$ параллельна $AP$, а значит, $MN \parallel AC$.
Рассмотрим треугольник $\triangle NPC$. Поскольку $NP \parallel AB$, треугольник $\triangle NPC$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (угол $C$ является общим для обоих треугольников, а углы $\angle CPN$ и $\angle CAB$ равны как соответственные при параллельных прямых $NP$ и $AB$ и секущей $AC$).
Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
$\frac{NP}{AB} = \frac{PC}{AC}$
Мы знаем, что $NP = x$, $AB = 6 \text{ см}$. Длину отрезка $PC$ можно выразить как $AC - AP$. Поскольку $AP = y$, то $PC = 8 - y \text{ см}$.
Подставляем эти значения в пропорцию:
$\frac{x}{6} = \frac{8 - y}{8}$
Теперь подставим $y = 2x$ в это уравнение:
$\frac{x}{6} = \frac{8 - 2x}{8}$
Умножим обе части уравнения на $48$ (наименьшее общее кратное $6$ и $8$) или перемножим крест-накрест:
$8x = 6(8 - 2x)$
$8x = 48 - 12x$
Прибавим $12x$ к обеим сторонам уравнения:
$8x + 12x = 48$
$20x = 48$
Разделим обе стороны на $20$:
$x = \frac{48}{20} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ см}$
Теперь найдем значение $y$, используя $y = 2x$:
$y = 2 \times 2.4 \text{ см} = 4.8 \text{ см}$
Периметр параллелограмма $AMNP$ вычисляется по формуле $P = 2(AM + AP)$ или $P = 2(x + y)$.
$P = 2(2.4 \text{ см} + 4.8 \text{ см})$
$P = 2(7.2 \text{ см})$
$P = 14.4 \text{ см}$

Ответ: $14.4 \text{ см}$