Номер 213, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

213. В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $AC$ проведены медиана $BD$ и отрезок $DE$, перпендикулярный $BC$. Известно, что $BD : DE = 3 : 2$, а площадь $\triangle DEC$ равна $20 \text{ см}^2$. Найдите площадь $\triangle ABC$.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$.

$BD$ — медиана к $AC$.

Отрезок $DE$ перпендикулярен $BC$ ($DE \perp BC$).

Отношение длин отрезков $BD : DE = 3 : 2$.

Площадь треугольника $\triangle DEC$ равна $S_{\triangle DEC} = 20 \, \text{см}^2$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения площади (см$^2$) являются стандартными для данной задачи. Перевод в систему СИ (м$^2$) не требуется, так как конечный ответ также будет выражен в квадратных сантиметрах.

Найти:

Площадь треугольника $\triangle ABC$ ($S_{\triangle ABC}$).

Решение:

В равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ медиана $BD$, проведенная к основанию $AC$, также является высотой. Следовательно, $BD \perp AC$, что означает $\angle BDC = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle BDC$ является прямоугольным треугольником.

По условию, отрезок $DE$ перпендикулярен стороне $BC$, то есть $DE \perp BC$. Это означает, что $\angle DEC = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle DEC$ также является прямоугольным треугольником.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle BDC$ и $\triangle DEC$. Они имеют общий острый угол $\angle C$ (то есть $\angle BCD = \angle ECD$).

Поскольку оба треугольника являются прямоугольными и имеют один общий острый угол, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Запишем подобие, сопоставляя вершины с равными углами:

• $\angle D_{BDC} = \angle E_{DEC} = 90^\circ$
• $\angle C_{BDC} = \angle C_{DEC}$ (общий угол)
• $\angle B_{BDC} = \angle D_{DEC}$ (оставшиеся углы)

Таким образом, $\triangle BDC \sim \triangle DEC$.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению соответствующих сторон. Известно отношение $BD : DE = 3 : 2$. Так как $BD$ и $DE$ являются катетами, лежащими напротив угла $C$ в своих треугольниках (нет, это не так, $BD$ напротив $\angle BCD$ и $DE$ напротив $\angle ECD$), а именно $BD$ лежит напротив вершины $C$ в $\triangle BDC$ (это не верно, $BD$ это высота, катет в $\triangle BDC$). Правильное сопоставление сторон для подобия $\triangle BDC \sim \triangle DEC$:

Отношение сторон, лежащих напротив равных углов:

• Напротив $\angle C$: $BD$ в $\triangle BDC$ и $DE$ в $\triangle DEC$.
• Напротив прямого угла: $BC$ в $\triangle BDC$ и $DC$ в $\triangle DEC$.
• Напротив третьего угла ($\angle CBD$ и $\angle CDE$): $DC$ в $\triangle BDC$ и $EC$ в $\triangle DEC$.

Следовательно, отношение соответствующих сторон равно: $\frac{BD}{DE} = \frac{BC}{DC} = \frac{DC}{EC}$.

Нам дано $BD : DE = 3 : 2$, то есть $\frac{BD}{DE} = \frac{3}{2}$. Это и есть коэффициент подобия $k = \frac{3}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle DEC}} = \left(\frac{BD}{DE}\right)^2$

$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle DEC}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

Мы знаем, что $S_{\triangle DEC} = 20 \, \text{см}^2$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{S_{\triangle BDC}}{20} = \frac{9}{4}$

$S_{\triangle BDC} = 20 \cdot \frac{9}{4}$

$S_{\triangle BDC} = 5 \cdot 9 = 45 \, \text{см}^2$.

Теперь найдем площадь $\triangle ABC$. Медиана $BD$ делит основание $AC$ на две равные части: $AD = DC$. Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$ имеют равные основания ($AD = DC$) и общую высоту ($BD$), проведенную из вершины $B$ к линии $AC$. Следовательно, их площади равны:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle BDC}$

Площадь всего треугольника $\triangle ABC$ равна сумме площадей $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BDC}$

$S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle BDC}$

Подставляем найденное значение $S_{\triangle BDC}$:

$S_{\triangle ABC} = 2 \cdot 45 \, \text{см}^2 = 90 \, \text{см}^2$.

Ответ:

Площадь треугольника $\triangle ABC$ составляет $90 \, \text{см}^2$.