Номер 215, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

215. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $AKMN$, где точки K, M и N принадлежат сторонам AB, BC и AC соответственно, причем $BM : MC = 5 : 1$. Какую часть площади $\triangle ABC$ составляет площадь этого параллелограмма?

Дано:

Треугольник $ABC$.

В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $AKMN$.

Точки $K$, $M$, $N$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$, $AC$ соответственно.

Отношение отрезков $BM : MC = 5 : 1$.

Перевод данных в систему СИ:

Данные представлены в виде отношения длин отрезков, что является безразмерной величиной и не требует перевода в систему СИ.

Найти:

Какую часть площади $\triangle ABC$ составляет площадь параллелограмма $AKMN$, то есть найти отношение $S_{AKMN} / S_{\triangle ABC}$.

Решение:

Пусть $S$ - площадь треугольника $ABC$. По условию дано отношение $BM : MC = 5 : 1$. Мы можем ввести коэффициент пропорциональности. Пусть $MC = x$, тогда $BM = 5x$. Следовательно, длина всей стороны $BC = BM + MC = 5x + x = 6x$.

Поскольку $AKMN$ - параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, $MN \parallel AK$ (что означает $MN \parallel AB$) и $KM \parallel AN$ (что означает $KM \parallel AC$).

Рассмотрим треугольник $CMN$. Так как $MN \parallel AB$, то по свойству параллельных прямых, пересеченных секущими, углы $\angle CMN$ и $\angle CBA$ являются соответственными, а угол $\angle C$ является общим для $\triangle CMN$ и $\triangle CBA$. Следовательно, $\triangle CMN$ подобен $\triangle CBA$ по двум углам. Коэффициент подобия $k_1$ для этих треугольников равен отношению соответствующих сторон: $k_1 = \frac{MC}{BC} = \frac{x}{6x} = \frac{1}{6}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle CMN}}{S_{\triangle CBA}} = k_1^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$. Таким образом, $S_{\triangle CMN} = \frac{1}{36} S$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $BKM$. Так как $KM \parallel AC$, то углы $\angle BKM$ и $\angle BAC$ являются соответственными, а угол $\angle B$ является общим для $\triangle BKM$ и $\triangle BAC$. Следовательно, $\triangle BKM$ подобен $\triangle BAC$ по двум углам. Коэффициент подобия $k_2$ для этих треугольников равен отношению соответствующих сторон: $k_2 = \frac{BM}{BC} = \frac{5x}{6x} = \frac{5}{6}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle BKM}}{S_{\triangle BAC}} = k_2^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$. Таким образом, $S_{\triangle BKM} = \frac{25}{36} S$.

Площадь исходного треугольника $ABC$ состоит из площади параллелограмма $AKMN$ и площадей двух отсеченных подобных треугольников $BKM$ и $CMN$: $S_{\triangle ABC} = S_{AKMN} + S_{\triangle BKM} + S_{\triangle CMN}$. Из этого равенства выразим площадь параллелограмма: $S_{AKMN} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BKM} - S_{\triangle CMN}$. Подставим выражения для площадей треугольников $BKM$ и $CMN$ через $S$: $S_{AKMN} = S - \frac{25}{36} S - \frac{1}{36} S$. Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание: $S_{AKMN} = S - \left(\frac{25 + 1}{36}\right) S$. $S_{AKMN} = S - \frac{26}{36} S$. Сократим дробь $\frac{26}{36}$ на 2: $S_{AKMN} = S - \frac{13}{18} S$. Теперь вычтем дроби: $S_{AKMN} = \left(1 - \frac{13}{18}\right) S = \left(\frac{18}{18} - \frac{13}{18}\right) S$. $S_{AKMN} = \frac{18 - 13}{18} S = \frac{5}{18} S$.

Таким образом, площадь параллелограмма $AKMN$ составляет $\frac{5}{18}$ часть площади треугольника $ABC$.

Ответ:

$\frac{5}{18}$