Страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень А

209. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 4,8 см и боковой стороной 4 см.

Дано:

Треугольник равнобедренный

Основание $a = 4.8 \text{ см}$

Боковая сторона $b = 4 \text{ см}$

Перевод в СИ:
$a = 4.8 \text{ см} = 0.048 \text{ м}$
$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной окружности $R$

Решение:

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле:
$R = \frac{abc}{4S}$
где $a, b, c$ - стороны треугольника, а $S$ - его площадь.

Так как треугольник равнобедренный, то две его стороны равны. Пусть боковые стороны равны $b$, тогда $c = b = 4 \text{ см}$.
Для нахождения площади $S$ нам понадобится высота $h_a$, опущенная на основание $a$. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой, поэтому она делит основание пополам.

Найдем половину основания:
$\frac{a}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4 \text{ см}$

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $h_a$ в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, половиной основания и высотой:
$h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$
$h_a = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$
$h_a = \sqrt{4^2 - (2.4)^2}$
$h_a = \sqrt{16 - 5.76}$
$h_a = \sqrt{10.24}$
$h_a = 3.2 \text{ см}$

Теперь найдем площадь треугольника $S$:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$
$S = \frac{1}{2} \cdot 4.8 \cdot 3.2$
$S = 2.4 \cdot 3.2$
$S = 7.68 \text{ см}^2$

Подставим найденные значения в формулу для радиуса описанной окружности $R$:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$
Поскольку $c=b$, формула примет вид:
$R = \frac{a \cdot b^2}{4S}$
$R = \frac{4.8 \cdot 4^2}{4 \cdot 7.68}$
$R = \frac{4.8 \cdot 16}{30.72}$
$R = \frac{76.8}{30.72}$
$R = 2.5 \text{ см}$

Ответ:

Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен $2.5 \text{ см}$.

210. В равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 6 см вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания, принадлежащими боковым сторонам.

Дано:

Равнобедренный треугольник ABC:

• Боковая сторона $AB = AC = a = 10$ см

• Основание $BC = b = 6$ см

• Вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC, AC в точках D, E, F соответственно.

Найти:

Расстояние между точками касания, принадлежащими боковым сторонам, то есть длину отрезка $DF$.

Решение:

Пусть данный равнобедренный треугольник будет ABC, где AB и AC - боковые стороны, а BC - основание. Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC, AC будут D, E, F соответственно. Требуется найти длину отрезка DF.

Для начала вычислим полупериметр $s$ треугольника ABC:

$s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{a + a + b}{2} = \frac{2a + b}{2}$

Подставляем числовые значения:

$s = \frac{2 \cdot 10 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} = \frac{20 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} = \frac{26 \text{ см}}{2} = 13 \text{ см}$.

Свойства вписанной окружности гласят, что длины отрезков касательных, проведенных из одной вершины до точек касания на прилежащих сторонах, равны. Для вершины A имеем:

$AD = AF = s - BC = s - b$

Подставляем значения:

$AD = AF = 13 \text{ см} - 6 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Теперь найдем косинус угла A (угол при вершине A) в треугольнике ABC. Воспользуемся теоремой косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos A$

$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos A$

Из этого уравнения выразим $\cos A$:

$2a^2 \cos A = 2a^2 - b^2$

$\cos A = \frac{2a^2 - b^2}{2a^2}$

Подставляем числовые значения:

$\cos A = \frac{2 \cdot (10 \text{ см})^2 - (6 \text{ см})^2}{2 \cdot (10 \text{ см})^2} = \frac{2 \cdot 100 - 36}{2 \cdot 100} = \frac{200 - 36}{200} = \frac{164}{200}$

Сокращаем дробь, деля числитель и знаменатель на 4:

$\cos A = \frac{164 \div 4}{200 \div 4} = \frac{41}{50}$.

Теперь рассмотрим треугольник ADF. Это равнобедренный треугольник с известными сторонами $AD = AF = 7$ см и углом A. Мы можем найти длину стороны DF, используя теорему косинусов для треугольника ADF:

$DF^2 = AD^2 + AF^2 - 2 \cdot AD \cdot AF \cdot \cos A$

Подставляем найденные значения:

$DF^2 = (7 \text{ см})^2 + (7 \text{ см})^2 - 2 \cdot 7 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot \frac{41}{50}$

$DF^2 = 49 + 49 - 98 \cdot \frac{41}{50}$

$DF^2 = 98 - \frac{4018}{50}$

$DF^2 = 98 - \frac{2009}{25}$

Приводим к общему знаменателю:

$DF^2 = \frac{98 \cdot 25 - 2009}{25} = \frac{2450 - 2009}{25} = \frac{441}{25}$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$DF = \sqrt{\frac{441}{25}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{25}} = \frac{21}{5}$

$DF = 4.2 \text{ см}$.

Ответ:

$4.2$ см

211. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 36 см, а один из катетов – 12 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.

Дано:

Гипотенуза $c = 36 \text{ см}$
Один из катетов $a = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$c = 36 \text{ см} = 0.36 \text{ м}$
$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Проекция другого катета на гипотенузу $b_c$.

Решение:

Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника как $c$, известный катет как $a$, а неизвестный катет как $b$.
Согласно условию задачи, $c = 36 \text{ см}$ и $a = 12 \text{ см}$.
Для начала найдем длину второго катета $b$, используя теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = c^2$
Отсюда выразим $b^2$:
$b^2 = c^2 - a^2$
Подставим известные значения:
$b^2 = (36 \text{ см})^2 - (12 \text{ см})^2$
$b^2 = 1296 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2$
$b^2 = 1152 \text{ см}^2$
Теперь найдем проекцию второго катета $b$ на гипотенузу $c$. Обозначим эту проекцию как $b_c$.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $b$ это соотношение выглядит так:
$b^2 = c \cdot b_c$
Из этой формулы выразим $b_c$:
$b_c = \frac{b^2}{c}$
Подставим ранее найденное значение $b^2 = 1152 \text{ см}^2$ и известное значение $c = 36 \text{ см}$:
$b_c = \frac{1152 \text{ см}^2}{36 \text{ см}}$
$b_c = 32 \text{ см}$

Ответ:

Проекция другого катета на гипотенузу равна $32 \text{ см}$.

212. Длина одной стороны треугольника равна 16 см. Прямая, параллельная ей, делит треугольник на два равновеликих многоугольника. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника.

Дано:

Длина одной стороны треугольника (обозначим ее как $a$) $= 16 \text{ см}$.

Прямая, параллельная данной стороне, делит треугольник на две равновеликие фигуры (т.е., площади получившегося меньшего треугольника и трапеции равны).

СИ:

Единицы измерения уже соответствуют системе СИ для длины (сантиметры), поэтому перевод не требуется.

$a = 16 \text{ см}$.

Найти:

Длину отрезка этой прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника (обозначим ее как $x$).

Решение:

Пусть исходный треугольник будет $\triangle ABC$, и сторона, длина которой равна $16 \text{ см}$, это $BC = a$.

Пусть прямая, параллельная $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Тогда отрезок, который мы ищем, это $DE = x$.

Так как прямая $DE$ параллельна стороне $BC$, то треугольник $\triangle ADE$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (угол $A$ общий, и $\angle ADE = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Пусть $S_{\triangle ABC}$ - площадь исходного треугольника, а $S_{\triangle ADE}$ - площадь меньшего треугольника.

По условию задачи, прямая делит исходный треугольник на две равновеликие фигуры. Это означает, что площадь треугольника $\triangle ADE$ равна площади трапеции $DBCE$.

Следовательно, $S_{\triangle ADE} = S_{DBCE}$.

Общая площадь исходного треугольника $S_{\triangle ABC}$ является суммой площадей $\triangle ADE$ и трапеции $DBCE$:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE} + S_{DBCE}$

Подставляя $S_{DBCE} = S_{\triangle ADE}$ в это уравнение, получаем:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE} + S_{\triangle ADE} = 2 S_{\triangle ADE}$

Из этого следует, что площадь меньшего треугольника составляет половину площади исходного треугольника:

$S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$

Теперь используем свойство отношения площадей подобных треугольников:

$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{DE}{BC}\right)^2$

Подставим известные значения, где $DE=x$ и $BC=a$:

$\frac{\frac{1}{2} S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{x}{a}\right)^2$

$\frac{1}{2} = \left(\frac{x}{a}\right)^2$

Чтобы найти отношение $\frac{x}{a}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{x}{a}$

Теперь выразим $x$:

$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Подставим заданное значение $a = 16 \text{ см}$:

$x = \frac{16}{\sqrt{2}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$x = \frac{16 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{16 \sqrt{2}}{2}$

Выполним деление:

$x = 8 \sqrt{2}$

Длина отрезка составляет $8\sqrt{2}$ см.

Ответ:

$8\sqrt{2} \text{ см}$.

213. В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $AC$ проведены медиана $BD$ и отрезок $DE$, перпендикулярный $BC$. Известно, что $BD : DE = 3 : 2$, а площадь $\triangle DEC$ равна $20 \text{ см}^2$. Найдите площадь $\triangle ABC$.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$.

$BD$ — медиана к $AC$.

Отрезок $DE$ перпендикулярен $BC$ ($DE \perp BC$).

Отношение длин отрезков $BD : DE = 3 : 2$.

Площадь треугольника $\triangle DEC$ равна $S_{\triangle DEC} = 20 \, \text{см}^2$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения площади (см$^2$) являются стандартными для данной задачи. Перевод в систему СИ (м$^2$) не требуется, так как конечный ответ также будет выражен в квадратных сантиметрах.

Найти:

Площадь треугольника $\triangle ABC$ ($S_{\triangle ABC}$).

Решение:

В равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ медиана $BD$, проведенная к основанию $AC$, также является высотой. Следовательно, $BD \perp AC$, что означает $\angle BDC = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle BDC$ является прямоугольным треугольником.

По условию, отрезок $DE$ перпендикулярен стороне $BC$, то есть $DE \perp BC$. Это означает, что $\angle DEC = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle DEC$ также является прямоугольным треугольником.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle BDC$ и $\triangle DEC$. Они имеют общий острый угол $\angle C$ (то есть $\angle BCD = \angle ECD$).

Поскольку оба треугольника являются прямоугольными и имеют один общий острый угол, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Запишем подобие, сопоставляя вершины с равными углами:

• $\angle D_{BDC} = \angle E_{DEC} = 90^\circ$
• $\angle C_{BDC} = \angle C_{DEC}$ (общий угол)
• $\angle B_{BDC} = \angle D_{DEC}$ (оставшиеся углы)

Таким образом, $\triangle BDC \sim \triangle DEC$.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению соответствующих сторон. Известно отношение $BD : DE = 3 : 2$. Так как $BD$ и $DE$ являются катетами, лежащими напротив угла $C$ в своих треугольниках (нет, это не так, $BD$ напротив $\angle BCD$ и $DE$ напротив $\angle ECD$), а именно $BD$ лежит напротив вершины $C$ в $\triangle BDC$ (это не верно, $BD$ это высота, катет в $\triangle BDC$). Правильное сопоставление сторон для подобия $\triangle BDC \sim \triangle DEC$:

Отношение сторон, лежащих напротив равных углов:

• Напротив $\angle C$: $BD$ в $\triangle BDC$ и $DE$ в $\triangle DEC$.
• Напротив прямого угла: $BC$ в $\triangle BDC$ и $DC$ в $\triangle DEC$.
• Напротив третьего угла ($\angle CBD$ и $\angle CDE$): $DC$ в $\triangle BDC$ и $EC$ в $\triangle DEC$.

Следовательно, отношение соответствующих сторон равно: $\frac{BD}{DE} = \frac{BC}{DC} = \frac{DC}{EC}$.

Нам дано $BD : DE = 3 : 2$, то есть $\frac{BD}{DE} = \frac{3}{2}$. Это и есть коэффициент подобия $k = \frac{3}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle DEC}} = \left(\frac{BD}{DE}\right)^2$

$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle DEC}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

Мы знаем, что $S_{\triangle DEC} = 20 \, \text{см}^2$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{S_{\triangle BDC}}{20} = \frac{9}{4}$

$S_{\triangle BDC} = 20 \cdot \frac{9}{4}$

$S_{\triangle BDC} = 5 \cdot 9 = 45 \, \text{см}^2$.

Теперь найдем площадь $\triangle ABC$. Медиана $BD$ делит основание $AC$ на две равные части: $AD = DC$. Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$ имеют равные основания ($AD = DC$) и общую высоту ($BD$), проведенную из вершины $B$ к линии $AC$. Следовательно, их площади равны:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle BDC}$

Площадь всего треугольника $\triangle ABC$ равна сумме площадей $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BDC}$

$S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle BDC}$

Подставляем найденное значение $S_{\triangle BDC}$:

$S_{\triangle ABC} = 2 \cdot 45 \, \text{см}^2 = 90 \, \text{см}^2$.

Ответ:

Площадь треугольника $\triangle ABC$ составляет $90 \, \text{см}^2$.

214. В $\Delta ABC \angle A = 45^\circ, AB = 5\sqrt{2}$ см, $AC = 8$ см, отрезки $MN, NK, KM$ – средние линии треугольника. Найдите площадь $\Delta MNK$.

Дано:

В треугольнике $ABC$:

$ \angle A = 45^\circ $

$ AB = 5\sqrt{2} $ см

$ AC = 8 $ см

Отрезки $MN, NK, KM$ — средние линии треугольника $ABC$.

Перевод в систему СИ:

$ AB = 5\sqrt{2} \times 10^{-2} $ м

$ AC = 8 \times 10^{-2} $ м

Найти:

Площадь $ \Delta MNK $ ($ S_{MNK} $).

Решение:

1.
Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой площади по двум сторонам и углу между ними:
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) $

2.
Подставим данные значения в формулу:
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2} \text{ см}) \cdot (8 \text{ см}) \cdot \sin(45^\circ) $
Мы знаем, что $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (5 \cdot 8) \cdot (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) $
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{2}{2} $
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 1 $
$ S_{ABC} = 20 \text{ см}^2 $

3.
Треугольник $MNK$ образован средними линиями треугольника $ABC$. Известно, что треугольник, образованный средними линиями другого треугольника, подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Следовательно, $ \frac{S_{MNK}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $.
Отсюда, $ S_{MNK} = \frac{1}{4} S_{ABC} $.

4.
Вычислим площадь $ \Delta MNK $:
$ S_{MNK} = \frac{1}{4} \cdot 20 \text{ см}^2 $
$ S_{MNK} = 5 \text{ см}^2 $

Ответ:

$ 5 \text{ см}^2 $

215. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $AKMN$, где точки K, M и N принадлежат сторонам AB, BC и AC соответственно, причем $BM : MC = 5 : 1$. Какую часть площади $\triangle ABC$ составляет площадь этого параллелограмма?

Дано:

Треугольник $ABC$.

В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $AKMN$.

Точки $K$, $M$, $N$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$, $AC$ соответственно.

Отношение отрезков $BM : MC = 5 : 1$.

Перевод данных в систему СИ:

Данные представлены в виде отношения длин отрезков, что является безразмерной величиной и не требует перевода в систему СИ.

Найти:

Какую часть площади $\triangle ABC$ составляет площадь параллелограмма $AKMN$, то есть найти отношение $S_{AKMN} / S_{\triangle ABC}$.

Решение:

Пусть $S$ - площадь треугольника $ABC$. По условию дано отношение $BM : MC = 5 : 1$. Мы можем ввести коэффициент пропорциональности. Пусть $MC = x$, тогда $BM = 5x$. Следовательно, длина всей стороны $BC = BM + MC = 5x + x = 6x$.

Поскольку $AKMN$ - параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, $MN \parallel AK$ (что означает $MN \parallel AB$) и $KM \parallel AN$ (что означает $KM \parallel AC$).

Рассмотрим треугольник $CMN$. Так как $MN \parallel AB$, то по свойству параллельных прямых, пересеченных секущими, углы $\angle CMN$ и $\angle CBA$ являются соответственными, а угол $\angle C$ является общим для $\triangle CMN$ и $\triangle CBA$. Следовательно, $\triangle CMN$ подобен $\triangle CBA$ по двум углам. Коэффициент подобия $k_1$ для этих треугольников равен отношению соответствующих сторон: $k_1 = \frac{MC}{BC} = \frac{x}{6x} = \frac{1}{6}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle CMN}}{S_{\triangle CBA}} = k_1^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$. Таким образом, $S_{\triangle CMN} = \frac{1}{36} S$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $BKM$. Так как $KM \parallel AC$, то углы $\angle BKM$ и $\angle BAC$ являются соответственными, а угол $\angle B$ является общим для $\triangle BKM$ и $\triangle BAC$. Следовательно, $\triangle BKM$ подобен $\triangle BAC$ по двум углам. Коэффициент подобия $k_2$ для этих треугольников равен отношению соответствующих сторон: $k_2 = \frac{BM}{BC} = \frac{5x}{6x} = \frac{5}{6}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle BKM}}{S_{\triangle BAC}} = k_2^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$. Таким образом, $S_{\triangle BKM} = \frac{25}{36} S$.

Площадь исходного треугольника $ABC$ состоит из площади параллелограмма $AKMN$ и площадей двух отсеченных подобных треугольников $BKM$ и $CMN$: $S_{\triangle ABC} = S_{AKMN} + S_{\triangle BKM} + S_{\triangle CMN}$. Из этого равенства выразим площадь параллелограмма: $S_{AKMN} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BKM} - S_{\triangle CMN}$. Подставим выражения для площадей треугольников $BKM$ и $CMN$ через $S$: $S_{AKMN} = S - \frac{25}{36} S - \frac{1}{36} S$. Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание: $S_{AKMN} = S - \left(\frac{25 + 1}{36}\right) S$. $S_{AKMN} = S - \frac{26}{36} S$. Сократим дробь $\frac{26}{36}$ на 2: $S_{AKMN} = S - \frac{13}{18} S$. Теперь вычтем дроби: $S_{AKMN} = \left(1 - \frac{13}{18}\right) S = \left(\frac{18}{18} - \frac{13}{18}\right) S$. $S_{AKMN} = \frac{18 - 13}{18} S = \frac{5}{18} S$.

Таким образом, площадь параллелограмма $AKMN$ составляет $\frac{5}{18}$ часть площади треугольника $ABC$.

Ответ:

$\frac{5}{18}$

216. В равнобедренной трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна ее боковой стороне $CD$ и делит высоту $BH$ трапеции на отрезки $BK = 2,2$ см, $KH = 1$ см. Найдите площадь этой трапеции с точностью до $0,1 \text{ см}^2$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ равнобедренная, $AD \parallel BC$.

Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.

Высота $BH$ трапеции. Точка $K$ - пересечение диагонали $AC$ и высоты $BH$.

Длины отрезков высоты: $BK = 2.2$ см, $KH = 1$ см.

Перевод в СИ:

$BK = 2.2 \text{ см} = 0.022 \text{ м}$

$KH = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ с точностью до $0.1$ см$^2$.

Решение:

1. Найдем полную длину высоты трапеции $BH$: $BH = BK + KH = 2.2 \text{ см} + 1 \text{ см} = 3.2 \text{ см}$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle HKA$. Поскольку $BC \parallel AD$ и $BH$ является высотой, то $BH \perp AD$ и $BH \perp BC$. Следовательно, $\angle KBC = 90^\circ$ и $\angle KHA = 90^\circ$. Углы $\angle BKC$ и $\angle HKA$ являются вертикальными, поэтому они равны. Таким образом, $\triangle BKC$ подобен $\triangle HKA$ по двум углам (прямой угол и вертикальные углы).

3. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{BC}{AH} = \frac{BK}{KH}$

Подставляем известные значения:

$\frac{BC}{AH} = \frac{2.2}{1} = 2.2$

Пусть длина отрезка $AH = x$. Тогда $BC = 2.2x$.

4. Для равнобедренной трапеции $ABCD$, где $BH$ - высота из вершины $B$ на основание $AD$, и пусть $CP$ - высота из вершины $C$ на основание $AD$ (тогда $P$ лежит на $AD$ и $CP \parallel BH$). В этом случае $AH = PD = x$ и $BC = HP = 2.2x$.

Длина большего основания $AD = AH + HP + PD = x + 2.2x + x = 4.2x$.

5. Площадь трапеции $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле: $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot BH$.

$S = \frac{4.2x + 2.2x}{2} \cdot 3.2 = \frac{6.4x}{2} \cdot 3.2 = 3.2x \cdot 3.2 = 10.24x$ см$^2$.

6. Используем условие $AC \perp CD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Для определения значения $x$ воспользуемся методом координат. Разместим начало координат в точке $H$. Тогда координаты вершин будут:

$A(-x, 0)$ (поскольку $AH = x$ и $A$ находится левее $H$)

$B(0, 3.2)$ (поскольку $H$ - основание высоты $BH$)

$C(2.2x, 3.2)$ (поскольку $BC = 2.2x$ и $BC \parallel AD$, а $P$ - проекция $C$ на $AD$, $HP = BC$)

$D(3.2x, 0)$ (поскольку $PD = x$ и $P$ имеет абсциссу $2.2x$, то $D$ имеет абсциссу $2.2x+x=3.2x$)

Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $(x_C - x_A, y_C - y_A) = (2.2x - (-x), 3.2 - 0) = (3.2x, 3.2)$.

Вектор $\vec{CD}$ имеет координаты: $(x_D - x_C, y_D - y_C) = (3.2x - 2.2x, 0 - 3.2) = (x, -3.2)$.

Поскольку $AC \perp CD$, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = (3.2x)(x) + (3.2)(-3.2) = 0$

$3.2x^2 - 3.2^2 = 0$

$3.2x^2 = 3.2^2$

$x^2 = 3.2$

$x = \sqrt{3.2}$

7. Подставим найденное значение $x$ в формулу площади трапеции:

$S = 10.24 \cdot \sqrt{3.2}$

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{3.2} \approx 1.788854382$

$S \approx 10.24 \cdot 1.788854382 \approx 18.3129688$

8. Округлим результат до $0.1$ см$^2$:

$S \approx 18.3$ см$^2$.

Ответ:

$18.3$ см$^2$.

217. В равнобедренном $\triangle ABC$ $AC = BC = 8$ см, $\angle C = 36^\circ$, $BD$ – биссектриса. Докажите, что $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ и найдите сторону $AB$.

Дано:

• Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AC = BC = 8$ см.

• Угол $\angle C = 36^\circ$.

• $BD$ — биссектриса угла $\angle B$.

Перевод в СИ:

• $AC = BC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

• Углы в градусах не требуют перевода в СИ, но при необходимости $36^\circ = \frac{\pi}{5} \text{ рад}$.

Найти:

• Доказать, что $\triangle ABD \sim \triangle ACB$.

• Найти сторону $AB$.

Решение:

Рассмотрим равнобедренный $\triangle ABC$.

Поскольку $AC = BC$, то углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \angle B$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$2\angle B + 36^\circ = 180^\circ$

$2\angle B = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

$\angle B = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$

Следовательно, $\angle A = 72^\circ$ и $\angle B = 72^\circ$.

По условию, $BD$ — биссектриса угла $\angle B$. Это означает, что она делит угол $\angle B$ пополам:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}(72^\circ) = 36^\circ$.

Докажите, что $\triangle ABD \sim \triangle ACB$

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACB$:

• Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников ($\angle DAB = \angle CAB = 72^\circ$).

• Угол $\angle ABD = 36^\circ$ (как половина угла $\angle B$).

• Угол $\angle C = 36^\circ$ (дано).

Таким образом, мы имеем две пары равных углов: $\angle A = \angle A$ и $\angle ABD = \angle C = 36^\circ$.

По признаку подобия треугольников по двум углам (AA), $\triangle ABD \sim \triangle ACB$.

Ответ: Доказано.

Найти сторону $AB$

Из подобия треугольников $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CB} = \frac{AD}{AB}$

Воспользуемся отношением $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$, из которого следует:

$AB^2 = AC \cdot AD$

Теперь рассмотрим углы в $\triangle ABD$:

• $\angle A = 72^\circ$

• $\angle ABD = 36^\circ$

• $\angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD = 180^\circ - 72^\circ - 36^\circ = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Поскольку $\angle A = \angle ADB = 72^\circ$, $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $AD$. Следовательно, $AB = BD$.

Рассмотрим углы в $\triangle BCD$:

• $\angle C = 36^\circ$

• $\angle CBD = 36^\circ$ (как половина угла $\angle B$).

Поскольку $\angle C = \angle CBD = 36^\circ$, $\triangle BCD$ является равнобедренным с основанием $BC$. Следовательно, $BD = CD$.

Из $AB = BD$ и $BD = CD$ следует, что $AB = CD$.

Мы знаем, что $AC = AD + CD$. Подставим $CD = AB$:

$AC = AD + AB$

Отсюда выразим $AD$: $AD = AC - AB$.

Теперь подставим это выражение для $AD$ в уравнение $AB^2 = AC \cdot AD$:

$AB^2 = AC \cdot (AC - AB)$

Пусть $AB = x$ и $AC = 8$ см. Уравнение примет вид:

$x^2 = 8(8 - x)$

$x^2 = 64 - 8x$

$x^2 + 8x - 64 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-64)}}{2(1)}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 256}}{2}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{320}}{2}$

Упростим $\sqrt{320}$:

$\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$

Подставим это обратно в формулу для $x$:

$x = \frac{-8 \pm 8\sqrt{5}}{2}$

Так как длина стороны должна быть положительной, выбираем положительный корень:

$x = \frac{-8 + 8\sqrt{5}}{2} = -4 + 4\sqrt{5} = 4(\sqrt{5} - 1)$

Следовательно, $AB = 4(\sqrt{5} - 1)$ см.

Ответ: $AB = 4(\sqrt{5} - 1)$ см.